2.48 Sabendo que \alpha=55^{\circ} e que a haste A C exerce no pino C uma força dirigida ao longo da linha A C, determine ( a ) a intensidade dessa força e (b) a tração no cabo B C.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a intensidade da força que a haste A C exerce no pino C;
  • (b) a tração no cabo B C.
Informações dadas (peguei estes dados da figura enviada):
  • Ângulo \alpha entre o cabo B C e a vertical: \alpha=55^\circ.
  • Força externa aplicada no pino C: 1330\\ \text{N}, dirigida 20^\circ para a direita a partir da vertical, apontando para baixo (vetor apontando para baixo e para a direita).
  • A haste A C faz ângulo 30^\circ acima da horizontal (o desenho mostra esse ângulo no ponto A). Ou seja, a linha A C forma 30^\circ com a horizontal.
O problema é estático: no pino C atuam três forças cujas soma vetorial deve ser nula:
  • a força da haste A C (desconhecida em módulo, atua ao longo da linha A C);
  • a tração T no cabo B C (desconhecida em módulo, atua ao longo de B C, puxando C na direção de B);
  • a força conhecida de 1330\\ \text{N} com direção dada.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e obter as componentes vetoriais de cada força.
Escolho x para a direita e y para cima.
  1. Vetor da força aplicada de 1330\\ \text{N}:
  • Ela está inclinada 20^\circ a partir da vertical, para a direita e para baixo.
  • Componentes: \displaystyle F_{\text{ext},x}=1330\sin 20^\circ (positiva para a direita),
    \displaystyle F_{\text{ext},y}=-1330\cos 20^\circ (negativa porque aponta para baixo).
  1. Tração T no cabo B C:
  • O cabo puxa o pino C em direção a B. A direção de B visto do pino C é para cima e para a esquerda, formando \alpha=55^\circ com a vertical (para a esquerda).
  • Componentes (tomando T positivo como o valor da tração): \displaystyle T_x=-T\sin 55^\circ (negativa = para a esquerda), \displaystyle T_y=+T\cos 55^\circ (positiva = para cima).
  1. Força da haste A C:
  • A linha A C forma 30^\circ com a horizontal. Do ponto A para C o vetor tem direção +30^\circ (direita e para cima). Em C a haste pode exercer uma força no sentido de C\to A (esquerda e para baixo) ou no sentido oposto; para montar equações eu assumo inicialmente que a força da haste no pino C tem intensidade F e está direcionada do pino C em direção a A (ou seja, para a esquerda e para baixo). Assim as componentes assumidas são:
F_x = -F\cos 30^\circ,\qquad F_y = -F\sin 30^\circ.
Se na solução F ficar negativo, isso indica que a direção real é oposta à assumida.

Passo 3

Escrever as equações de equilíbrio em x e y. A soma das componentes em cada direção deve ser zero.
Equilíbrio em x:
-F\cos 30^\circ - T\sin 55^\circ + 1330\sin 20^\circ = 0.
Equilíbrio em y:
-F\sin 30^\circ + T\cos 55^\circ - 1330\cos 20^\circ = 0.
Vou escrever essas duas equações de forma mais conveniente:
\begin{cases} \;F\cos 30^\circ + T\sin 55^\circ = 1330\sin 20^\circ,\\[6pt] \;F\sin 30^\circ - T\cos 55^\circ = -\,1330\cos 20^\circ. \end{cases}]

Passo 4

Substituir valores trigonométricos numéricos e transformar o sistema em numérico.
Usarei aproximações com três casas decimais quando necessário:
  • \cos 30^\circ = 0{,}866025,
  • \sin 30^\circ = 0{,}5,
  • \sin 55^\circ = 0{,}819152,
  • \cos 55^\circ = 0{,}573576,
  • \sin 20^\circ = 0{,}342020,
  • \cos 20^\circ = 0{,}939693.
Calcule as constantes:
1330\sin 20^\circ \approx 1330(0{,}342020)=454{,}887\\ \text{N},
1330\cos 20^\circ \approx 1330(0{,}939693)=1249{,}791\\ \text{N}.
Substituindo:
\begin{cases} \;0{,}866025\,F + 0{,}819152\,T = 454{,}887,\\[6pt] \;0{,}5\,F - 0{,}573576\,T = -1249{,}791. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para F e T.
Da segunda equação:
0{,}5\,F = -1249{,}791 + 0{,}573576\,T
\Rightarrow F = -2499{,}582 + 1{,}147152\,T.
Substituo em a primeira:
0{,}866025(-2499{,}582 + 1{,}147152\,T) + 0{,}819152\,T = 454{,}887.
Faço as contas (mostrando os passos aritméticos essenciais):
0{,}866025(-2499{,}582) \approx -2164{,}702,
0{,}866025\cdot 1{,}147152 \approx 0{,}993989.
Então:
-2164{,}702 + 0{,}993989\,T + 0{,}819152\,T = 454{,}887.
Somando os coeficientes de T:
(0{,}993989 + 0{,}819152)\,T = 1{,}813141\,T.
Isolando T:
1{,}813141\,T = 454{,}887 + 2164{,}702 = 2619{,}589,
T = \dfrac{2619{,}589}{1{,}813141} \approx 1444{,}8\\ \text{N}.
Agora calculo F pela expressão obtida:
F = -2499{,}582 + 1{,}147152(1444{,}8) \approx -2499{,}582 + 1657{,}34 \approx -842{,}24\\ \text{N}.
O sinal negativo significa que a direção real da força da haste em C é oposta à direção que eu havia assumido (assumi que a haste aplicava no pino C uma força dirigida de C para A; o sinal negativo indica que a haste aplica em C a força no sentido contrário, isto é, de A para C). Em termos práticos, o módulo da força é 842{,}2\\ \text{N} e a haste está em compressão (empurra o pino C ao longo de A C, isto é, o pino C recebe uma força dirigida ao longo de A C para cima/direita).
Arredondando com três algarismos significativos:
T \approx 1445\\ \text{N},\qquad |F| \approx 842{,} \text{N}.

Passo 6

Interpretação física final (resumo didático e incentivo):
  • A tração no cabo B C é maior que a força na haste A C porque a força externa tem uma componente vertical para baixo grande que o cabo, quase vertical, precisa sustentar; a haste contribui tanto em x quanto em y.
  • O sinal negativo encontrado para F só nos diz que a haste está comprimida (ela empurra o pino C no sentido do segmento de A para C), então na hora da prova pode escrever “compressão” ao lado do valor.
Força final com sentido descrito acima e valores numéricos já encontrados.

Resposta

F_{AC}=842{,}2\\ \text{N} (módulo da força que a haste exerce no pino C; a haste está em compressão, ou seja, a força real no pino C aponta no sentido de A para C).
T_{BC}=1444{,}8\\ \text{N}.