2.48 Sabendo que
e que a haste
exerce no pino
uma força dirigida ao longo da linha
, determine (
) a intensidade dessa força e
a tração no cabo
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a intensidade da força que a haste
exerce no pino ; - (b) a tração no cabo
.
Informações dadas (peguei estes dados da figura enviada):
- Ângulo
entre o cabo e a vertical: . - Força externa aplicada no pino
: , dirigida para a direita a partir da vertical, apontando para baixo (vetor apontando para baixo e para a direita). - A haste
faz ângulo acima da horizontal (o desenho mostra esse ângulo no ponto ). Ou seja, a linha forma com a horizontal.
O problema é estático: no pino
atuam três forças cujas soma vetorial deve ser nula:
- a força da haste
(desconhecida em módulo, atua ao longo da linha ); - a tração
no cabo (desconhecida em módulo, atua ao longo de , puxando na direção de ); - a força conhecida de
com direção dada.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e obter as componentes vetoriais de cada força.
Escolho
para a direita e
para cima.
- Vetor da força aplicada de
:
- Ela está inclinada
a partir da vertical, para a direita e para baixo. - Componentes:
(positiva para a direita),
(negativa porque aponta para baixo).
- Tração
no cabo :
- O cabo puxa o pino
em direção a . A direção de visto do pino é para cima e para a esquerda, formando com a vertical (para a esquerda). - Componentes (tomando
positivo como o valor da tração): (negativa = para a esquerda), (positiva = para cima).
- Força da haste
:
- A linha
forma com a horizontal. Do ponto para o vetor tem direção (direita e para cima). Em a haste pode exercer uma força no sentido de (esquerda e para baixo) ou no sentido oposto; para montar equações eu assumo inicialmente que a força da haste no pino tem intensidade e está direcionada do pino em direção a (ou seja, para a esquerda e para baixo). Assim as componentes assumidas são:
Se na solução
ficar negativo, isso indica que a direção real é oposta à assumida.
Passo 3
Escrever as equações de equilíbrio em
e
. A soma das componentes em cada direção deve ser zero.
Equilíbrio em
:
Equilíbrio em
:
Vou escrever essas duas equações de forma mais conveniente:
Passo 4
Substituir valores trigonométricos numéricos e transformar o sistema em numérico.
Usarei aproximações com três casas decimais quando necessário:
Usarei aproximações com três casas decimais quando necessário:
-
, -
, -
, -
, -
, -
.
Calcule as constantes:
Substituindo:
Passo 5
Resolver o sistema linear para
e
.
Da segunda equação:
Substituo em a primeira:
Faço as contas (mostrando os passos aritméticos essenciais):
Então:
Somando os coeficientes de
:
Isolando
:
Agora calculo
pela expressão obtida:
O sinal negativo significa que a direção real da força da haste em
é oposta à direção que eu havia assumido (assumi que a haste aplicava no pino
uma força dirigida de
para
; o sinal negativo indica que a haste aplica em
a força no sentido contrário, isto é, de
para
). Em termos práticos, o módulo da força é
e a haste está em compressão (empurra o pino
ao longo de
, isto é, o pino
recebe uma força dirigida ao longo de
para cima/direita).
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 6
Interpretação física final (resumo didático e incentivo):
- A tração no cabo
é maior que a força na haste porque a força externa tem uma componente vertical para baixo grande que o cabo, quase vertical, precisa sustentar; a haste contribui tanto em quanto em . - O sinal negativo encontrado para
só nos diz que a haste está comprimida (ela empurra o pino no sentido do segmento de para ), então na hora da prova pode escrever “compressão” ao lado do valor.
Força final com sentido descrito acima e valores numéricos já encontrados.