50 g de gelo a \mathrm{T}=0^{\circ} \mathrm{C} são colocados em uma garrafa térmica que contém 100 g de água a \mathrm{T}=10^{\circ} \mathrm{C}. Quantos gramas de gelo são transformados em água? O calor de fusão do gelo é 333 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} e o calor específico da água é 4190 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do gelo inicial: m_{\text{gelo,init}}=50\\ \mathrm{g}=0,05\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura inicial do gelo: T_{\text{gelo}}=0^\circ\mathrm{C}.
    • Massa da água inicial: m_{\text{água}}=100\\ \mathrm{g}=0,1\\ \mathrm{kg}á.
    • Temperatura inicial da água: T_{\text{água}}=10^\circ\mathrm{C}á.
    • Calor de fusão do gelo (entalpia de fusão): L_f=333\\ \mathrm{kJ/kg}=333000\\ \mathrm{J/kg}.
    • Calor específico da água: c=4190\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Pergunta:
    • Quantos gramas de gelo são transformados em água (isto é, qual a massa de gelo que derrete)?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar — conservação de energia térmica (num sistema isolado): o calor perdido pela água ao esfriar será usado para fundir parte do gelo. Explico os conceitos usados:
  • Calor específico: a fórmula que dá a quantidade de calor necessária para mudar a temperatura de uma massa é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é o calor (em joules), m é a massa (em kg), c é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou graus Celsius, já que a diferença é a mesma).
  • Calor latente de fusão: a quantidade de calor necessária para transformar massa m de gelo à temperatura de fusão em água à mesma temperatura é
Q_{\text{fusão}} = m\,L_f,ã
onde L_f é o calor de fusão (em \mathrm{J/kg}).
No nosso caso o gelo já está a 0^\circ\mathrm{C}, então não precisamos fornecer calor para esquentá-lo antes de fundi-lo; só precisamos do calor de fusão. Se a quantidade de calor disponível da água não for suficiente para fundir todo o gelo, teremos derretimento parcial e a temperatura final ficará em 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular o calor que a água pode ceder ao esfriar de 10^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}.
Usando Q = m\,c\,\Delta T com m=0,1\\ \mathrm{kg}, c=4190\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \Delta T=10\\ \mathrm{K}:
Q_{\text{disponível}} = 0,1\cdot 4190\cdot 10.í
Fazendo as contas passo a passo:
0,1\cdot 4190 = 419,\qquad 419\cdot 10 = 4190.
Portanto
Q_{\text{disponível}} = 4190\\ \mathrm{J}.í

Passo 4

Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo (para verificar se todo o gelo poderia derreter).
Usando Q_{\text{fusão, total}} = m_{\text{gelo,init}} \, L_fã com m_{\text{gelo,init}}=0,05\\ \mathrm{kg} e L_f=333000\\ \mathrm{J/kg}:
Q_{\text{fusão, total}} = 0,05\cdot 333000.ã
Fazendo a multiplicação:
0,05\cdot 333000 = 16650.
Logo
Q_{\text{fusão, total}} = 16650\\ \mathrm{J}.ã
Comparando os dois valores:
Q_{\text{disponível}} = 4190\\ \mathrm{J} < Q_{\text{fusão, total}} = 16650\\ \mathrm{J}.íã
Portanto a água que esfria até 0^\circ\mathrm{C} não tem calor suficiente para fundir todo o gelo; ocorrerá derretimento parcial e a temperatura final do sistema será 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Determinar a massa de gelo que derrete usando o balanço de energia (todo o calor cedido pela água vai para a fusão de uma massa m_{\text{derretida}} de gelo):
m_{\text{derretida}}\,L_f = Q_{\text{disponível}}.í
Isolando m_{\text{derretida}}:
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{disponível}}}{L_f} = \frac{4190}{333000}.í
Calculemos:
\frac{4190}{333000}\approx 0,012585\\ \mathrm{kg}.
Convertendo para gramas ( 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}):
m_{\text{derretida}} \approx 0,012585\cdot 1000 = 12,585\\ \mathrm{g}.
Arredondando com razoável precisão (duas casas significativas em gramas): 12,6\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: havia 50\\ \mathrm{g} de gelo disponíveis e apenas cerca de 12,6\\ \mathrm{g} derreteram — isso faz sentido porque o calor liberado por 100\\ \mathrm{g} de água ao cair 10^\circ\mathrm{C} é relativamente pequeno em comparação com o calor necessário para fundir grandes massas de gelo.

Resposta

12{,}6\\ \mathrm{g}

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