Em uma escala linear de temperatura x , a água congela a -150^{\circ} \mathrm{X} e evapora a 375^{\circ} \mathrm{X}. Em uma escala linear Y , a água congela a -70^{\circ} \mathrm{Y} e evapora a 230^{\circ} \mathrm{Y}. Uma temperatura de 50^{\circ} \mathrm{Y} corresponde a que temperatura na escala X ?

Passo 1

O enunciado fornece as temperaturas de congelação e ebulição da água em duas escalas lineares diferentes e pede a conversão de uma temperatura da escala Y para a escala X. As informações dadas são:
  • Na escala X: água congela a -150^\circ\mathrm{X} e evapora a 375^\circ\mathrm{X}. Ou seja,
    x_{\text{cong}} = -150^\circ\mathrm{X} e x_{\text{ebul}} = 375^\circ\mathrm{X}.
  • Na escala Y: água congela a -70^\circ\mathrm{Y} e evapora a 230^\circ\mathrm{Y}. Ou seja,
    y_{\text{cong}} = -70^\circ\mathrm{Y} e y_{\text{ebul}} = 230^\circ\mathrm{Y}.
    O que se pede: encontrar a temperatura correspondente em X para uma temperatura de 50^\circ\mathrm{Y}.

Passo 2

Conceito-chave (em linguagem simples): duas escalas de temperatura lineares estão relacionadas por uma função afim (reta), ou seja, existe uma relação do tipo
x = m\,y + c,
onde x é a leitura na escala X, y é a leitura na escala Y, m é a inclinação (quanto varia x quando y varia) e c é o deslocamento (o valor de x quando y=0).
Como temos duas correspondências (congelação e ebulição), essas duas condições permitem determinar os dois parâmetros m e c.

Passo 3

Escrevo as duas equações obtidas a partir dos pontos conhecidos (y_{\text{cong}},x_{\text{cong}}) e (y_{\text{ebul}},x_{\text{ebul}}):
-150 = m\cdot(-70) + c,
375 = m\cdot(230) + c.
Essas são duas equações lineares em m e c.

Passo 4

Vou eliminar c subtraindo a primeira equação da segunda para achar m:
375 - (-150) = m\bigl(230 - (-70)\bigr).
Calculando os dois lados:
375 - (-150) = 375 + 150 = 525,
230 - (-70) = 230 + 70 = 300.
Portanto
525 = m\cdot 300 \quad\Rightarrow\quad m = \frac{525}{300}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 75):
m = \frac{525}{300} = \frac{7}{4}.

Passo 5

Agora encontro c substituindo m=\dfrac{7}{4} em uma das equações, por exemplo na da congelação:
-150 = \frac{7}{4}\cdot(-70) + c.
Calculo o termo:
\frac{7}{4}\cdot(-70) = -\frac{7\cdot70}{4} = -\frac{490}{4} = -\frac{245}{2}.
Então
-150 = -\frac{245}{2} + c \quad\Rightarrow\quad c = -150 + \frac{245}{2}.
Colocando -150 como fração com denominador 2:
-150 = -\frac{300}{2},
logo
c = -\frac{300}{2} + \frac{245}{2} = -\frac{55}{2}.
Em decimal, c = -27{,}5, mas fica mais elegante manter a forma fracionária:
c = -\frac{55}{2}.

Passo 6

A relação de conversão obtida é
x = \frac{7}{4}\,y - \frac{55}{2}.
Agora calculo x quando y=50:
x = \frac{7}{4}\cdot 50 - \frac{55}{2}.
Calculo passo a passo:
\frac{7}{4}\cdot 50 = 7\cdot\frac{50}{4} = 7\cdot 12{,}5 = 87{,}5,
\frac{55}{2} = 27{,}5.
Logo
x = 87{,}5 - 27{,}5 = 60.

Passo 7

Interpretação final: a temperatura de 50^\circ\mathrm{Y} corresponde a 60^\circ\mathrm{X}. Força aí — deu certinho!

Resposta

60^\circ\mathrm{X}

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