51-A tensão total e a corrente resultante em um circuito série de dois elementos puros são: \mathrm{V}_{\mathrm{T}}=150 \cos \left(200 \mathrm{t}-30^{\circ}\right) e \mathrm{i}=4,48 \cos \left(200 \mathrm{t}-56,6^{\circ}\right). Determinar os elementos que constituem o circuito.
Passo 1
O enunciado dá as formas temporais da tensão total e da corrente em um circuito série com dois elementos puros e pede para determinar quais são esses elementos (e seus valores). Informações relevantes fornecidas:
Dados úteis que já se extraem do enunciado: a frequência angular é \omega=200\\ \mathrm{rad/s}; as amplitudes e fases são \underline{V}=150\angle -30^\circ e \underline{I}=4,48\angle -56,6^\circ. A tarefa é identificar os dois elementos puros (entre resistor, indutor e capacitor) e seus valores.
Passo 2
Primeiro transformamos as grandezas temporais em fasores (forma complexa de números fasoriais). A regra: uma grandeza A\cos(\omega t+\varphi) vira o fasor \underline{A}=A\angle\varphi. Assim:
\underline{V}=150\angle -30^\circ
\underline{I}=4,48\angle -56,6^\circ
Em regime senoidal linear, a impedância equivalente do circuito série é \underline{Z}=\dfrac{\underline{V}}{\underline{I}}. Vamos calcular.
Passo 3
Calculemos magnitude e ângulo de \underline{Z} pela divisão de fasores:
onde \theta é o argumento de \underline{Z}. Aplicando:
R=33,482\cos 26,6^\circ\approx 29,95\\ \Omega
X=33,482\sin 26,6^\circ\approx 15,00\\ \Omega
Portanto
\underline{Z}\approx 29,95 + j\,15,00\\ \Omega.
Passo 5
Interpretação física: o termo real R\approx 29,95\\ \Omega corresponde a um resistor puro; o termo imaginário X é a reatância equivalente. Como X é positivo (+15,\!00\\ \Omega), a reatância é indutiva, ou seja, provém de um indutor (reatância de um capacitor seria negativa). Logo os dois elementos puros em série são um resistor R e um indutor L.
Passo 6
Para obter o valor do indutor usamos a relação da reatância indutiva: