51-A tensão total e a corrente resultante em um circuito série de dois elementos puros são: \mathrm{V}_{\mathrm{T}}=150 \cos \left(200 \mathrm{t}-30^{\circ}\right) e \mathrm{i}=4,48 \cos \left(200 \mathrm{t}-56,6^{\circ}\right). Determinar os elementos que constituem o circuito.

Passo 1

O enunciado dá as formas temporais da tensão total e da corrente em um circuito série com dois elementos puros e pede para determinar quais são esses elementos (e seus valores). Informações relevantes fornecidas:
\mathrm{V}_{T}(t)=150\cos\!\left(200t-30^\circ\right)
\mathrm{i}(t)=4,48\cos\!\left(200t-56,6^\circ\right)
Dados úteis que já se extraem do enunciado: a frequência angular é \omega=200\\ \mathrm{rad/s}; as amplitudes e fases são \underline{V}=150\angle -30^\circ e \underline{I}=4,48\angle -56,6^\circ. A tarefa é identificar os dois elementos puros (entre resistor, indutor e capacitor) e seus valores.

Passo 2

Primeiro transformamos as grandezas temporais em fasores (forma complexa de números fasoriais). A regra: uma grandeza A\cos(\omega t+\varphi) vira o fasor \underline{A}=A\angle\varphi. Assim:
\underline{V}=150\angle -30^\circ
\underline{I}=4,48\angle -56,6^\circ
Em regime senoidal linear, a impedância equivalente do circuito série é \underline{Z}=\dfrac{\underline{V}}{\underline{I}}. Vamos calcular.

Passo 3

Calculemos magnitude e ângulo de \underline{Z} pela divisão de fasores:
|\underline{Z}|=\frac{150}{4,48}=33,482\ldots
\angle\underline{Z}=-30^\circ-(-56,6^\circ)=26,6^\circ
Logo em forma polar:
\underline{Z}=33,482\angle 26,6^\circ\\ \Omega

Passo 4

Convertemos \underline{Z} para forma retangular R+jX (onde R é a resistência e X a reatância líquida):
As fórmulas são
R=|\underline{Z}|\cos\theta,\qquad X=|\underline{Z}|\sin\theta,
onde \theta é o argumento de \underline{Z}. Aplicando:
R=33,482\cos 26,6^\circ\approx 29,95\\ \Omega
X=33,482\sin 26,6^\circ\approx 15,00\\ \Omega
Portanto
\underline{Z}\approx 29,95 + j\,15,00\\ \Omega.

Passo 5

Interpretação física: o termo real R\approx 29,95\\ \Omega corresponde a um resistor puro; o termo imaginário X é a reatância equivalente. Como X é positivo ( +15,\!00\\ \Omega), a reatância é indutiva, ou seja, provém de um indutor (reatância de um capacitor seria negativa). Logo os dois elementos puros em série são um resistor R e um indutor L.

Passo 6

Para obter o valor do indutor usamos a relação da reatância indutiva:
X_{L}=\omega L.
Isolando L:
L=\frac{X_{L}}{\omega}=\frac{15,00}{200}=0,075\\ \mathrm{H}.
Em unidades mais usuais, L=75\\ \mathrm{mH}.

Passo 7

Verificação rápida (checar consistência): com R=29,95\\ \Omega e X_{L}=15,00\\ \Omega temos
|\underline{Z}|=\sqrt{29,95^{2}+15,00^{2}}\approx 33,48\\ \Omega
e
\angle\underline{Z}=\arctan\!\left(\frac{15,00}{29,95}\right)\approx 26,6^\circ,
que coincidem com os valores obtidos a partir dos fasores — portanto está consistente.

Resposta

Resistor R\approx 29,95\\ \Omega
Indutor L=0,075\\ \mathrm{H} (ou 75\\ \mathrm{mH})