Você deseja descobrir a temperatura de fusão do alumínio a 100 bar. Você encontra que, a pressão atmosférica, Al funde a 933,45 \mathrm{~K} e a entalpia de fusão é:
\Delta h_{\mathrm{fus}}=-10,711[\mathrm{~J} / \mathrm{mol}]
A capacidade calorífica molar de cada fase é:
c_{P}^{l}=31.748[\mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \mathrm{~K})], c_{P}^{s}=20.068+0.0138 T[\mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \mathrm{~K})]
Considere que a densidade do alumínio sólido seja 2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e do alumínio líquido 2300 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. Em qual temperatura o alumínio se funde a 100 bar?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura de fusão do alumínio à pressão 100\\ \text{bar}.
Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
  • Temperatura de fusão à pressão atmosférica: \;T_0 = 933,45\\ \mathrm{K}.
  • Entalpia de fusão (fornecida): \;\Delta h_{\mathrm{fus}} = -10{,}711\\ [\mathrm{J/mol}].
  • Capacidades térmicas molares:
    • fase líquida: \;c_P^{l}=31{,}748\\ [\mathrm{J/(mol\\ K)}] (constante),
    • fase sólida: \;c_P^{s}=20{,}068+0{,}0138\,T\\ [\mathrm{J/(mol\\ K)}].
  • Densidades:
    • sólido: \;\rho_s = 2700\\ \mathrm{kg/m^3},
    • líquido: \;\rho_l = 2300\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Pressão final: \;p_1 = 100\\ \text{bar}.
Observação (importante, pois o enunciado tem ambiguidade):
  • O enunciado dá \Delta h_{\mathrm{fus}} = -10{,}711\\ [\mathrm{J/mol}]. Isso parece conflitar com o valor físico conhecido da entalpia de fusão do alumínio (cerca de 10{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}) e com o fato físico de que a fusão é endotérmica (entalpia positiva para sólido \to líquido). Vou assumir que o valor correto é \Delta h_{\mathrm{fus}}(T_0)=+10711\\ \mathrm{J/mol} (ou seja, 10{,}711\\ \mathrm{J/mol}). Também assumirei que “pressão atmosférica” usada para T_0 é p_0 = 1{,}00\\ \text{bar} = 1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Se essas suposições estiverem erradas, o resultado mudaria um pouco.

Passo 2

Qual método usar (intuição rápida e a ideia física)
  • A relação entre pressão e temperatura na linha de coexistência sólido–líquido é dada pela equação de Clapeyron:
\frac{dp}{dT}=\frac{\Delta h(T)}{T\,\Delta v},
onde:
  • \Delta h(T)=h^{l}(T)-h^{s}(T) é a entalpia molar de fusão à temperatura T,
  • \Delta v=v^{l}-v^{s} é a variação do volume molar na fusão.
  • Aqui \Delta h varia com T porque as capacidades térmicas das fases são diferentes; por isso usaremos a forma integrada da Clapeyron, combinada com a lei de Kirchhoff para \Delta h(T).
  • Integraremos a equação desde (p_0,T_0) até (p_1,T_f) para achar T_f, onde p_1 é 100\\ \text{bar} e T_f é a temperatura de fusão procurada.

Passo 3

Escrever a relação integrada útil
  • Da equação de Clapeyron:
\frac{dp}{dT}=\frac{\Delta h(T)}{T\,\Delta v}
rearranjando e integrando de T_0 a T_f e de p_0 a p_1 obtemos
p_1-p_0=\frac{1}{\Delta v}\int_{T_0}^{T_f}\frac{\Delta h(T)}{T}\,dT.
Essa equação é a equação que vamos resolver para T_f. Então preciso de \Delta v e de uma expressão para \Delta h(T).

Passo 4

Converter densidades em volume molar e calcular \Delta v
  • Usarei a massa molar do alumínio: \;M=26{,}9815\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Volume molar de cada fase: v=M/\rho. Assim
v_s=\frac{M}{\rho_s}=\frac{26{,}9815\times10^{-3}}{2700}\\ \mathrm{m^3/mol}, \qquad v_l=\frac{M}{\rho_l}=\frac{26{,}9815\times10^{-3}}{2300}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Calculando numericamente:
v_s \approx \frac{0{,}0269815}{2700}=9{,}9924\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol},
v_l \approx \frac{0{,}0269815}{2300}=1{,}1731\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Portanto
\Delta v = v_l - v_s \approx 1{,}1731\times10^{-5}-9{,}9924\times10^{-6} =1{,}739\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol}.
(Valores arredondados, mantidos com precisão suficiente para o problema.)

Passo 5

Expressar \Delta h(T) usando as capacidades térmicas (Lei de Kirchhoff)
  • A diferença de capacidades térmicas molares é
\Delta c_P(T)=c_P^{l}-c_P^{s}=31{,}748 - \bigl(20{,}068+0{,}0138\,T\bigr)=11{,}680 - 0{,}0138\,T.
  • A lei de Kirchhoff diz que a entalpia de transição varia com T segundo
\Delta h(T)=\Delta h(T_0)+\int_{T_0}^{T}\Delta c_P(T')\,dT'.
  • Integrando \Delta c_P:
\int_{T_0}^{T}\bigl(11{,}680 - 0{,}0138\,T'\bigr)dT' =11{,}680\,(T-T_0)-\frac{0{,}0138}{2}\,(T^2-T_0^2).
  • Assim obtemos a expressão explícita
\Delta h(T)=\Delta h_0 +11{,}680\,(T-T_0)-0{,}0069\,(T^2-T_0^2),
onde \Delta h_0=\Delta h(T_0)=10711\\ \mathrm{J/mol} (assumido conforme explicado).
  • Para facilitar a integração posterior, reescrevo \Delta h(T) na forma quadrática
\Delta h(T)=A + B\,T + C\,T^2,
com os coeficientes (calculemos numericamente):
A=\Delta h_0 -11{,}680\,T_0 +0{,}0069\,T_0^2, \quad B=11{,}680, \quad C=-0{,}0069.
  • Substituindo T_0=933{,}45\\ \mathrm{K} e \Delta h_0=10711:
    • Primeiro calcule 11{,}680\,T_0 \approx 11{,}680\times933{,}45 \approx 10902{,}5\\ \mathrm{J/mol}.
    • Calcule 0{,}0069\,T_0^2 \approx 0{,}0069\times(933{,}45)^2 \approx 6012{,}17\\ \mathrm{J/mol}.
    • Logo
A \approx 10711 - 10902{,}5 + 6012{,}17 \approx 5820{,}67\\ \mathrm{J/mol}.
Portanto
\Delta h(T)\approx 5820{,}67 + 11{,}680\,T -0{,}0069\,T^2\\ \\ [\mathrm{J/mol}].

Passo 6

Montar a integral e obter a equação a resolver
  • A relação integrada do Passo 3 deu
p_1-p_0=\frac{1}{\Delta v}\int_{T_0}^{T_f}\frac{\Delta h(T)}{T}\,dT.
  • Substituindo \Delta h(T)=A+B T + C T^2 e integrando analiticamente:
\int_{T_0}^{T_f}\frac{A+B T + C T^2}{T}\,dT =\;A\ln\!\biggl(\frac{T_f}{T_0}\biggr)+B\,(T_f-T_0)+\frac{C}{2}\,(T_f^2-T_0^2).
  • Então a equação a resolver é
p_1-p_0=\frac{1}{\Delta v}\Biggl[\,A\ln\!\biggl(\frac{T_f}{T_0}\biggr)+B\,(T_f-T_0)+\frac{C}{2}\,(T_f^2-T_0^2)\Biggr].
  • Valores numéricos conhecidos:
    • \Delta v\approx 1{,}739\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol}.
    • p_0=1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\quad p_1=100{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Portanto
p_1-p_0=(100-1)\times10^{5}=99\times10^{5}=9{,}90\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calculando o lado direito multiplicado por \Delta v (valor numérico alvo para o conteúdo entre colchetes):
S_{\text{alvo}}=\Delta v\,(p_1-p_0)\approx 1{,}739\times10^{-6}\times9{,}90\times10^{6} \approx 17{,}21\\ \mathrm{J/mol}.
Ou seja, devemos encontrar T_f tal que
A\ln\!\biggl(\frac{T_f}{T_0}\biggr)+B\,(T_f-T_0)+\frac{C}{2}\,(T_f^2-T_0^2)=S_{\text{alvo}}\approx17{,}21.

Passo 7

Resolver numericamente para T_f (método prático, aproximação linear seguida de verificação)
  • Observação: o aumento de pressão (1 bar \to 100 bar) não é enorme, então a variação T_f-T_0 será pequena; podemos fazer uma aproximação linear inicial e depois verificar.
  • Linearizando a esquerda em redor de T_0 (expansão em série), para pequenas \Delta T=T_f-T_0:
\text{esq}\approx S'(T_0)\,\Delta T,
onde
S'(T)=\frac{d}{dT}\Bigl[A\ln(T)+B T +\frac{C}{2}T^2\Bigr] = \frac{A}{T}+B+C\,T.
  • Avaliando em T_0:
S'(T_0)\approx \frac{5820{,}67}{933{,}45}+11{,}680-0{,}0069\times933{,}45 \approx 6{,}237+11{,}680-6{,}442\approx 11{,}475\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
  • Portanto a primeira estimativa
\Delta T \approx \frac{S_{\text{alvo}}}{S'(T_0)}\approx \frac{17{,}21}{11{,}475}\approx 1{,}50\\ \mathrm{K}.
  • Assim T_f^{(0)}\approx T_0+\Delta T\approx 933{,}45+1{,}50=934{,}95\\ \mathrm{K}.
  • Verificação plugando T_f=934{,}95 na expressão exata:
    • Calcule cada termo (usando os coeficientes anteriores):
      • \ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{T_0}\bigr)\approx \ln\!\bigl(1+\tfrac{1{,}50}{933{,}45}\bigr)\approx 0{,}001605.
      • A\ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{T_0}\bigr)\approx 5820{,}67\times0{,}001605\approx 9{,}35\\ \mathrm{J/mol}.
      • B(T_f-T_0)=11{,}680\times1{,}50\approx17{,}52\\ \mathrm{J/mol}.
      • \dfrac{C}{2}(T_f^2-T_0^2)=C\,T_0\,(T_f-T_0)+\dfrac{C}{2}(T_f-T_0)^2
        \approx -0{,}0069\times933{,}45\times1{,}50 -0{,}00345\times(1{,}50)^2
        \approx -9{,}66 -0{,}0078\approx -9{,}67\\ \mathrm{J/mol}.
      • Somando: 9{,}35+17{,}52-9{,}67\approx 17{,}20\\ \mathrm{J/mol}.
    • Esse resultado coincide com S_{\text{alvo}}\approx17{,}21 dentro de 0{,}01\\ \mathrm{J/mol}, ou seja, a solução é consistente com alta precisão.
  • Concluímos que a solução numérica é
T_f \approx 934{,}95\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Interpretação final e comentário didático curto
  • O aquecimento da entalpia de fusão com T (pela diferença de c_P) e o pequeno volume molar positivo na fusão dão um pequeno aumento da temperatura de fusão quando a pressão aumenta de 1\\ \text{bar} para 100\\ \text{bar}.
  • O aumento encontrado é de aproximadamente \Delta T\approx 1{,}50\\ \mathrm{K}, i.e., muito pequeno porque \Delta v molar é bem pequeno e \Delta h é relativamente grande.

Resposta

T_f \approx 934{,}95\\ \mathrm{K}

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