O gás monóxido de carbono ( \mathrm{CO}_{2} ) contido em um conjunto cilindro-pistão passa por três processos em série:
Processo1-2: expansão de \mathrm{p}_{1}=5 \mathrm{bar}, \mathrm{V}_{1}=0,2 \mathrm{~m}^{3} até \mathrm{V}_{2}=1 \mathrm{~m}^{3}, durante a qual a relação pressãovolume é p.V=constante;
Processo2-3: aquecimento a volume constante do estado 2 até o estado 3 , em que \mathrm{p}_{3}=5 \mathrm{bar};
Processo3-1: compressão a pressão constante até o estado inicial.
Esboce os processos em série em um diagrama p-V e determine o trabalho para cada processo, em kJ.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Gás: \mathrm{CO}_{2} no cilindro-pistão.
  • Estado 1: \;p_{1}=5\\ \text{bar},\;V_{1}=0,2\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Processo 1–2: expansão tal que \;pV=\text{constante} (ou seja, pV=C) até \;V_{2}=1\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Processo 2–3: aquecimento a volume constante ( V_{2}=V_{3}) até \;p_{3}=5\\ \text{bar}.
  • Processo 3–1: compressão a pressão constante até retornar ao estado inicial 1.
O enunciado pede:
  • Esboçar os três processos em um diagrama p- V (descrever a forma e a sequência dos ramos).
  • Determinar o trabalho para cada processo, em kJ (presumirei a convenção: trabalho positivo quando realizado pelo gás).

Passo 2

Primeiro converto pressões para unidades SI para cálculo do trabalho: \;1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \text{Pa}.
p_{1}=5\\ \text{bar}=5\times10^{5}\\ \text{Pa}.
A constante do processo 1–2 é
C=p_{1}V_{1}.
Calculo também p_{2} usando p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}:
p_{2}=\frac{p_{1}V_{1}}{V_{2}}=\frac{5\times10^{5}\cdot0,2}{1}=1\times10^{5}\\ \text{Pa}=1\\ \text{bar}.
Como V_{2}=V_{3}=1\\ \mathrm{m}^{3} (processo 2–3 é isométrico), confirmamos que p_{3}=5\\ \text{bar} é consistente com o enunciado.

Passo 3

Esboço do diagrama p- V (descrição para traçar à mão):
  • Eixo horizontal: V (módulo crescente → direita). Eixo vertical: p (crescente → cima).
  • Ponto 1: (V_{1}=0,2,\;p_{1}=5\\ \text{bar}), localizado à esquerda e alto.
  • Ponto 2: (V_{2}=1,\;p_{2}=1\\ \text{bar}), à direita e mais baixo.
  • Ponto 3: (V_{3}=1,\;p_{3}=5\\ \text{bar}), mesmo V de 2, mas com pressão elevada (verticalmente acima de 2).
  • Ramo 1→2: curva hiperbólica (porque p=C/V), descendo de p_{1} para p_{2} enquanto V aumenta de 0,2 para 1.
  • Ramo 2→3: linha vertical para cima em V=1, de p_{2}=1 até p_{3}=5.
  • Ramo 3→1: linha horizontal para a esquerda em p=5\\ \text{bar}, de V=1 até V=0,2.

Passo 4

Definição e fórmulas úteis para trabalho:
  • Trabalho realizado pelo gás em um processo quasistático é
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p\,dV.
  • Caso volume constante ( dV=0) temos
W=0.
  • Caso pressão constante p=\text{const}:
W=p\,(V_{f}-V_{i}).
  • Caso pV=C (isto é, p=C/V):
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}}\frac{C}{V}\,dV=C\ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right).
Aqui W é o trabalho realizado pelo gás; um W>0 significa trabalho feito pelo gás no ambiente (expansão), W<0 significa trabalho realizado sobre o gás (compressão).

Passo 5

Cálculo do trabalho no processo 1–2 ( pV=C, expansão de V_{1} para V_{2}).
Calculo C:
C=p_{1}V_{1}=5\times10^{5}\\ \text{Pa}\times0,2\\ \mathrm{m}^{3}=1{,}0\times10^{5}\\ \text{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3}=1{,}0\times10^{5}\\ \text{J}.
Aplicando a fórmula:
W_{1\to2}=C\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=1{,}0\times10^{5}\cdot\ln\!\left(\frac{1}{0,2}\right)=1{,}0\times10^{5}\cdot\ln(5).
Quantidade numérica:
\ln(5)\approx1{,}6094379,
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W_{1\to2}\approx1{,}0\times10^{5}\times1{,}6094379=160943{,}79\\ \text{J}\approx160{,}94\\ \text{kJ}.
Interpretação: processo de expansão → trabalho positivo pelo gás:
W_{1\to2}\approx+160{,}94\\ \text{kJ}.

Passo 6

Cálculo do trabalho no processo 2–3 (aquecimento a volume constante, V_{2}=V_{3}).
Como V é constante,
W_{2\to3}=0.

Passo 7

Cálculo do trabalho no processo 3–1 (compressão a pressão constante p_{3}=5\\ \text{bar}, de V_{3}=1 para V_{1}=0,2).
Usando W=p\,(V_{1}-V_{3}) (trabalho realizado pelo gás ao ir de 3 para 1):
p_{3}=5\times10^{5}\\ \text{Pa},\qquad V_{1}-V_{3}=0,2-1=-0,8\\ \mathrm{m}^{3}.
W_{3\to1}=5\times10^{5}\cdot(-0,8)=-4{,}0\times10^{5}\\ \text{J}=-400{,}0\\ \text{kJ}.
Interpretação: negativo → trabalho realizado SOBRE o gás (compressão).

Passo 8

(Resumo rápido e interpretação didática)
  • Trabalho do gás em 1→2: + valor (expansão isotérmica-like por pV= const).
  • Trabalho em 2→3: zero (processo isocórico).
  • Trabalho em 3→1: negativo (compressão isobárica), magnitude maior que o trabalho feito na expansão, portanto o trabalho líquido sobre o ciclo é negativo (trabalho total recebido pelo gás).

Resposta

W_{1\to2}=+160{,}94\\ \text{kJ}
W_{2\to3}=0{,}00\\ \text{kJ}
W_{3\to1}=-400{,}00\\ \text{kJ}

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