66 Resfriamento de bebidas por evaporação. Uma bebida pode ser mantida fresca, mesmo em um dia quente, se for colocada em um recipiente poroso, de cerâmica, previamente molhado. Suponha que a energia perdida por evaporação seja igual à energia recebida em consequência da troca de radiação pela superfície superior e pelas superfícies laterais do recipiente. O recipiente e a bebida estão a uma temperatura T=15^circ C, a temperatura ambiente é T amb =32^circ C e o recipiente é um cilindro de raio r =2,2 cm e altura h=10 cm. Suponha que a emissividade é varepsilon=1 e despreze outras trocas de energia. Qual é a taxa d m / d t de perda de massa de água do recipiente, em g/s?

Passo 1

O enunciado descreve um recipiente cilíndrico de raio r=2,2:cm e altura h=10:cm, mantido a T=15^circ C num ambiente a Tamb=32^circ C. A hipótese é que a potência absorvida por radiação na face superior e na lateral do cilindro compensa a potência gasta na evaporação de água. Para resolver, vamos usar o Princípio de Stefan–Boltzmann para calcular a potência radiativa líquida e depois relacionar essa potência à vazão mássica de evaporação via o calor latente da água.

Passo 2

Calculamos a área exposta à radiação: a face superior tem área pi r^2 e a lateral tem área 2pi r h. Assim
A ;=;pi r^2 + 2pi r h ;=;pi,(0,022: m)^2 ;+;2pi,(0,022: m),(0,10: m) ;approx;0,0153:m^2

Passo 3

A potência líquida recebida por radiação é dada por
Prad =varepsilon,sigma,A, l(Tamb^4 - T^4r),
onde varepsilon=1 e sigma=5,67times10^-8:W,m^-2K^-4. Passamos para Kelvin:
Tamb=305,15: K, T=288,15: K

Passo 4

Calculando a diferença de quartas potências:
Tamb^4 - T^4 approx1,78times10^9: K^4
Logo
Prad approx(1)(5,67times10^-8) (0,0153)(1,78times10^9) approx1,55: W

Passo 5

Essa potência sustenta a evaporação, ou seja
Prad ;=;dmdt,Lv,
onde Lv é o calor latente de vaporização da água. Em torno de 15^circ C vale aproximadamente Lv=2,45times10^6: J/kg. Logo
dmdt =PradLv approx1,552,45times10^6 approx6,3times10^-7:kg/s =6,3times10^-4:g/s

Resposta

A taxa de perda de massa é aproximadamente
dmdtapprox6,3times10^-4:g/s

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