72 A taxa média com a qual a energia chega à superfície na América do Norte é
e a condutividade térmica média das rochas próximas da superfície é
. Supondo que a temperatura da superfície é
, determine a temperatura a uma profundidade de
(perto da base da crosta). Ignore o calor gerado pela presença de elementos radioativos.
Passo 1
O enunciado dá a taxa média de energia (fluxo de calor) que chega à superfície da Terra na América do Norte,
, e a condutividade térmica média das rochas,
. A temperatura na superfície é
. Queremos achar a temperatura
a uma profundidade
supondo regime estacionário de condução unidimensional (Lei de Fourier) e sem geração interna de calor.
Passo 2
Convertemos o fluxo de calor para unidades do SI:
Passo 3
Pela Lei de Fourier para condução estacionária unidimensional temos
Como a temperatura aumenta com a profundidade
(se
cresce para baixo) e o calor flui para cima, tomamos a magnitude do gradiente:
Passo 4
Integramos o gradiente de
até
:
Calculando o gradiente:
Como
,
Passo 5
A temperatura a
é
Resposta
A temperatura a
de profundidade é aproximadamente
.