72 A taxa média com a qual a energia chega à superfície na América do Norte é 54,0 mW / m^2 e a condutividade térmica média das rochas próximas da superfície é 2,50 W / m cdot K. Supondo que a temperatura da superfície é 10,0^circ C, determine a temperatura a uma profundidade de 35,0 km (perto da base da crosta). Ignore o calor gerado pela presença de elementos radioativos.

Passo 1

O enunciado dá a taxa média de energia (fluxo de calor) que chega à superfície da Terra na América do Norte, q=54,0 mW/m^2, e a condutividade térmica média das rochas, k=2,50 W/(mcdot K). A temperatura na superfície é T(0)=10,0,^circC. Queremos achar a temperatura T(z) a uma profundidade z=35,0 km supondo regime estacionário de condução unidimensional (Lei de Fourier) e sem geração interna de calor.

Passo 2

Convertemos o fluxo de calor para unidades do SI:
q = 54,0 mW/m^2 = 0,054 W/m^2

Passo 3

Pela Lei de Fourier para condução estacionária unidimensional temos
q = -,k,dTdz
Como a temperatura aumenta com a profundidade z (se z cresce para baixo) e o calor flui para cima, tomamos a magnitude do gradiente:
dTdz = qk

Passo 4

Integramos o gradiente de z=0 até z=35,0 km:
De<a T = integral0^zqk,dz = qk,z
Calculando o gradiente:
qk = 0,0542,50 = 0,0216 K/m
Como z=35,0 km=35,000 m,
De<a T = 0,0216times 35,000 = 756 K

Passo 5

A temperatura a 35,0 km é
T(z) = T(0) + De<a T = 10,0,^circC + 756,K = 766,^circC

Resposta

A temperatura a 35,0 km de profundidade é aproximadamente 766,^circC.

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