Ar a 70^{\circ} \mathrm{F} e 1 atm é resfriado na vazão volumétrica de 100.000 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{hr} para 20^{\circ} \mathrm{F} por refrigeração. Para uma temperatura da vizinhança igual a 70^{\circ} \mathrm{F}, qual é a potência mínima requerida em hp?

Passo 1

O enunciado pede a potência mínima (em hp) necessária para resfriar ar que entra a 70^\circ\mathrm{F} e 1\\ \mathrm{atm} à vazão volumétrica de 100\,000\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{hr} até 20^\circ\mathrm{F}, quando a vizinhança (resíduo térmico) está a 70^\circ\mathrm{F}.\n
Dados fornecidos (vou repetir cada um claramente):
\begin{aligned} &\dot V = 100\,000\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{hr},\\\ &T_1 = 70^\circ\mathrm{F},\\\ &T_2 = 20^\circ\mathrm{F},\\\ &T_0 = 70^\circ\mathrm{F}\\ (\text{temperatura da vizinhança onde se rejeita calor}),\\\ &P = 1\\ \mathrm{atm}. \end{aligned}ç
O que se pede: potência mínima em \mathrm{hp} (horsepower). Não foram dados detalhes adicionais sobre propriedades além das temperaturas e pressão, então vamos tratar o ar como gás ideal com calor específico constante e usar a expressão de trabalho mínimo reversível (exergia) para o ar sendo resfriado e rejeitando calor à vizinhança a T_0.

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vamos usar) — aula curtinha e levinha:
  • A potência mínima que um refrigerador precisa fornecer para resfriar um fluxo contínuo de fluido, quando a rejeição de calor ocorre à temperatura ambiente T_0, corresponde ao trabalho reversível mínimo (disponibilidade ou exergia perdida pelo fluido). Para um fluxo com massa mássica \dot m,
\dot W_{\min}=\dot m\big[(h_2-h_1)-T_0(s_2-s_1)\big].
Aqui:
  • \dot W_{\min} é a potência mínima (unidade de energia/tempo),
  • h é a entalpia específica do ar,
  • s é a entropia específica do ar,
  • T_0 é a temperatura absoluta da vizinhança (reservatório de rejeição) em escala absoluta,
  • índices 1,2 são estados inicial e final do ar.
Para ar como gás ideal com calor específico constante c_p (por unidade de massa):
h = c_p T,\qquad s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right),
onde T é temperatura absoluta (Rankine em sistema inglês). Substituindo:
\dot W_{\min} = \dot m\,c_p\Big(T_2-T_1 - T_0\ln\!\frac{T_2}{T_1}\Big).
Observações importantes:
  • Temperaturas em Rankine: T(^\circ\mathrm{R}) = T(^{\circ}\mathrm{F})+459{,}67.
  • Vamos calcular \dot m a partir de \dot V e da densidade do ar à condição de entrada (70°F, 1 atm).
  • Usaremos c_p do ar aproximado por c_p=0{,}240\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbm}\cdot{}^\circ\mathrm{R}). Trabalharemos em Btu/h e depois converteremos para hp usando 1\\ \mathrm{hp}=2544{,}43\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{hr}.

Passo 3

Calcular massas e temperaturas absolutas (Rankine) — passo a passo:
  1. Converter temperaturas para Rankine:
\begin{aligned} &T_1 = 70^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_1 = 70 + 459{,}67 = 529{,}67\\ ^\circ\mathrm{R},\\\ &T_2 = 20^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_2 = 20 + 459{,}67 = 479{,}67\\ ^\circ\mathrm{R},\\\ &T_0 = 70^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_0 = 529{,}67\\ ^\circ\mathrm{R}. \end{aligned}
  1. Calcular densidade do ar à condição de entrada (usei o gás ideal em SI e converti para unidades inglesas para evitar confusão com constantes): usando P=101325\\ \mathrm{Pa}, R_{\text{ar}}=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_1=294{,}26\\ \mathrm{K} ( 70^\circ\mathrm{F}),
\rho = \frac{P}{R_{\text{ar}}T_1} \approx \frac{101325}{287{,}058\cdot 294{,}26} \approx 1{,}2008\\ \mathrm{kg/m^3}.
Converter \rho para \mathrm{lbm/ft^3} usando 1\\ \mathrm{kg/m^3}=0{,}062428\\ \mathrm{lbm/ft^3}:
\rho \approx 1{,}2008\times 0{,}062428 \approx 0{,}07486\\ \mathrm{lbm/ft^3}.
  1. Calcular vazão mássica \dot m:
\dot m = \dot V\cdot \rho = 100\,000\\ \mathrm{ft^3/hr}\times 0{,}07486\\ \mathrm{lbm/ft^3} = 7\,486\\ \mathrm{lbm/hr}.
(Guardei 4 algarismos significativos para evitar arredondamentos grosseiros.)

Passo 4

Aplicar a fórmula do trabalho mínimo com valores numéricos — vou calcular termo a termo para você entender e poder reproduzir na prova.
Usamos c_p=0{,}240\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbm}\cdot{}^\circ\mathrm{R}). Primeiro calcule o termo interno por unidade de massa:
\Delta h = c_p(T_2-T_1)=0{,}240\cdot(479{,}67-529{,}67)=0{,}240\cdot(-50)= -12{,}00\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Agora o termo com entropia:
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=0{,}240\ln\!\left(\frac{479{,}67}{529{,}67}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{479{,}67}{529{,}67}\approx 0{,}90557,\qquad \ln(0{,}90557)\approx -0{,}09895.
Então
s_2-s_1 \approx 0{,}240\cdot(-0{,}09895)= -0{,}02375\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot{}^\circ R)}.
Multiplicando por T_0:
T_0(s_2-s_1)\approx 529{,}67\cdot(-0{,}02375)= -12{,}57\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Agora o integrando do trabalho por unidade massa:
c_p\big(T_2-T_1\big) - T_0(s_2-s_1)=(-12{,}00)-(-12{,}57)=+0{,}57\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Interpretando: por unidade de massa, a exergia perdida do ar ao ser resfriado é 0{,}57\\ \mathrm{Btu/lbm} — é pouco por massa porque o processo pode ser feito quase reversivelmente trocando calor com o ambiente em etapas.
Multiplicar pela vazão mássica para obter potência mínima:
\dot W_{\min} = \dot m\times 0{,}57 \approx 7\,486\\ \mathrm{lbm/hr}\times 0{,}57\\ \mathrm{Btu/lbm} \approx 4\,265\\ \mathrm{Btu/hr}.

Passo 5

Converter \dot W_{\min} para \mathrm{hp}. Usando 1\\ \mathrm{hp}=2544{,}43\\ \mathrm{Btu/hr}:
\dot W_{\min} = \frac{4\,265\\ \mathrm{Btu/hr}}{2544{,}43\\ \mathrm{Btu/(hr\cdot hp)}} \approx 1{,}676\\ \mathrm{hp}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais: 1{,}68\\ \mathrm{hp}.

Resposta

1{,}68\\ \mathrm{hp}

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