Considerando 1 Kg de água líquida:
c) Explique como a água poderia ser aquecida de 0^{\circ} \mathrm{C} a 100^{\circ} \mathrm{C} com \Delta S_{\text {total }} =0.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique como aquecer 1\\ \mathrm{kg} de água líquida de \,0^\circ\mathrm{C} até \,100^\circ\mathrm{C} de modo que \Delta S_{\text{total}}=0.
Informações dadas e escolhas necessárias para a resolução (assumi o que é usual):
  • massa da água: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • temperaturas inicial e final: T_1= \,0^\circ\mathrm{C}= \,273{,}15\\ \mathrm{K} e T_2= \,100^\circ\mathrm{C}= \,373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • vou tratar a capacidade térmica da água como constante: c\approx 4184\\ \mathrm{J\;kg^{-1}\;K^{-1}} (valor típico).
    Pergunta explícita: qual processo (ou como proceder) faz com que a água seja aquecida entre essas temperaturas mantendo \Delta S_{\text{total}}=0?

Passo 2

Conceito fundamental usado: definição de variação de entropia para uma transformação reversível.
  • Se um sistema recebe um calor reversível infinitesimal \delta Q_{\text{rev}} à temperatura T, a variação de entropia infinitesimal é
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Expliquei: aqui \delta Q_{\text{rev}} é a quantidade de calor trocada de forma reversível (quase-estática) e T é a temperatura absoluta (em kelvin) na qual essa troca ocorre. Para obter a variação total entre dois estados integra-se essa expressão ao longo do caminho reversível.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao aquecimento da água assumindo c constante: a energia térmica recebida pela água ao subir a temperatura de T_1 para T_2 é \delta Q = mc\,dT. Substituindo em dS=\delta Q_{\text{rev}}/T e integrando:
\Delta S_{\text{água}}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{mc\,dT}{T}=mc\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).á
Aqui m é a massa, c o calor específico (assumido constante), T_1 e T_2 as temperaturas iniciais e finais em kelvin. Substituo números para ter uma ideia do valor:
\Delta S_{\text{água}} = (1\\ \mathrm{kg})(4184\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}})\ln\!\left(\frac{373{,}15}{273{,}15}\right).á
Calculo aproximado: \ln(373{,}15/273{,}15)\approx 0{,}312, logo
\Delta S_{\text{água}}\approx 4184\times 0{,}312\approx 1{,}31\times 10^{3}\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.á

Passo 4

Agora a entropia do meio ambiente (surroundings) que fornece o calor: se um reservatório fornece uma quantidade infinitesimal de calor \delta Q à temperatura do reservatório T_{\text{res}}, sua variação de entropia é
dS_{\text{res}}=-\frac{\delta Q}{T_{\text{res}}},
o sinal negativo porque o reservatório perde calor. Para o processo total teremos
\Delta S_{\text{res}}=-\int\frac{\delta Q}{T_{\text{res}}}.

Passo 5

Para obter \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{água}}+\Delta S_{\text{res}}=0á precisamos que a entropia perdida pelo(s) reservatório(s) seja exatamente -\Delta S_{\text{água}}á. Ou seja, precisamos que
\Delta S_{\text{res}}=-mc\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Isto ocorre se tomarmos o processo de transferência de calor como reversível, isto é, se em cada passo infinitesimal o calor \delta Q sai de um reservatório cuja temperatura T_{\text{res}} é igual à temperatura instantânea T da água. Então substituindo \delta Q=mc\,dT e T_{\text{res}}=T obtemos
\Delta S_{\text{res}}=-\int_{T_1}^{T_2}\frac{mc\,dT}{T}=-mc\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Somando com \Delta S_{\text{água}}=+mc\ln(T_2/T_1)á cancelam exatamente, resultando em
\Delta S_{\text{total}}=0.

Passo 6

Interpretação física e como realizar na prática (passo-a-passo conceitual, para a prova):
  • O caminho que garante \Delta S_{\text{total}}=0 é um aquecimento reversível (quase‑estático). Isso significa que a água deve sempre permanecer praticamente em equilíbrio térmico com a fonte de calor.
  • Uma maneira concreta de imaginar isso é usar uma sucessão (infinitamente densa) de reservatórios térmicos com temperaturas progressivamente maiores, variando de T_1 até T_2. Em cada passo a água é posta em contato com um reservatório cuja temperatura difere apenas infinitesimalmente da temperatura atual da água, de modo que o fluxo de calor é infinitesimal e reversível.
  • Alternativa prática aproximada: fazer aquecimento em muitos pequenos degraus de temperatura (vários trocadores de calor em série com diferenças de temperatura pequenas) aproxima o processo reversível; um processo real finito sempre produz alguma entropia, então \Delta S_{\text{total}}=0 é idealização. Outra alternativa teórica é usar um ciclo reversível (por exemplo um ciclo de bomba de calor reversível) que transfira calor mantendo o balanço de entropia nulo, mas a ideia-mestra é sempre a mesma: não transferir calor entre corpos a temperaturas finitamente diferentes.
  • Resumo físico: para ter \Delta S_{\text{total}}=0 o aquecimento deve ser realizado sem gradientes de temperatura finitos (quase‑estático / reversível), de modo que a entropia ganha pela água seja compensada pela mesma entropia perdida pelos reservatórios.

Resposta

A água pode ser aquecida de \,0^\circ\mathrm{C} a \,100^\circ\mathrm{C} de forma que \Delta S_{\text{total}}=0 realizando o aquecimento reversivelmente (quase‑estaticamente), isto é, em contato com uma sucessão contínua de reservatórios cuja temperatura acompanha a temperatura instantânea da água; matematicamente \Delta S_{\text{água}}=mc\ln\!\bigl(T_2/T_1\bigr)á e \Delta S_{\text{res}}=-mc\ln\!\bigl(T_2/T_1\bigr), de modo que \Delta S_{\text{total}}=0.

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