Um quilograma de vapor d’água encontra-se no interior de um dispositivo êmbolo/cilindro a 800 kPa e 200^{\circ} \mathrm{C}.
a) Se houver uma expansão isotérmica até 150 kPa , mecanicamente reversível, que quantidade de calor ele absorverá?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a quantidade de calor absorvida durante a expansão isotérmica, mecanicamente reversível:
\text{massa: } m=1\\ \mathrm{kg}
\text{pressão inicial: } P_1=800\\ \mathrm{kPa}ã
\text{pressão final: } P_2=150\\ \mathrm{kPa}ã
\text{temperatura: } T=200^\circ\mathrm{C}
Pergunta: qual o calor Q absorvido pelo vapor d’água em uma expansão isotérmica e mecanicamente reversível de P_1 para P_2?

Passo 2

Primeiro vamos checar o estado inicial para decidir o modelo a usar. A pressão de saturação da água a 200^\circ\mathrm{C} é aproximadamente
P_\text{sat}(200^\circ\mathrm{C})\approx 1\,554{,}9\\ \mathrm{kPa}.
Como P_1=800\\ \mathrm{kPa}<P_\text{sat}, a substância está em vapor superaquecido no estado inicial. Para vapor superaquecido, é comum (e geralmente aceitável para cálculos de engenharia simples) aproximar o vapor pela lei dos gases ideais; por isso usaremos o modelo de gás ideal para a expansão isotérmica. Vou explicar como isso dá a expressão para o calor.

Passo 3

Teoria essencial (explicadinha, passo a passo):
  • Para um sistema fechado que realiza trabalho de pressão de forma mecanicamente reversível, o trabalho realizado pelo sistema ao expandir de V_1 para V_2 é
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm{d}V,
onde aqui P é a pressão do gás (igual à pressão do entorno em processo reversível).
  • Para um gás ideal, a equação de estado é
P V = m R T,
onde m é a massa, R é a constante específica do gás (para vapor d’água R\approx 0{,}4615\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}) e T é a temperatura absoluta em kelvin. Explicando as quantidades:
  • m: massa do fluido (aqui 1\\ \mathrm{kg}),
  • R: constante específica do vapor (vem de R_u/M, mas aqui usamos valor tabulado),
  • T: temperatura absoluta (em K).
  • Em um processo isotérmico ( T constante), a expressão do trabalho fica
W=\int_{V_1}^{V_2} \frac{m R T}{V}\,\mathrm{d}V = m R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Como o processo é isotérmico para um gás ideal, a energia interna U (que para gás ideal depende só de T) não muda: \Delta U=0. Pela primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado,
\Delta U = Q - W \quad\Longrightarrow\quad Q = W \\ (\text{quando }\Delta U=0).
Portanto o calor absorvido é igual ao trabalho realizado:
Q = m R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Em processo isotérmico para gás ideal, V é inversamente proporcional à P (porque PV= const quando T e m fixos), então
\frac{V_2}{V_1}=\frac{P_1}{P_2}.
Substituindo:
Q = m R T \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Isso é a fórmula que vamos usar. Repare que é simples: massa vezes constante do gás vezes temperatura absoluta vezes o logaritmo da razão de pressões.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os números. Primeiro convertemos a temperatura para kelvin:
T=200^\circ\mathrm{C}=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K}.
Usamos m=1\\ \mathrm{kg} e R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}. A fórmula é
Q = m R T \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Calculemos primeiro m R T:
m R T = 1\cdot 0{,}4615\cdot 473{,}15 = 218{,}36\\ \mathrm{kJ}.
(Estou arredondando a terceira casa para manter os cálculos legíveis; o valor exato mostrado corresponde à multiplicação direta.)

Passo 5

Agora calculamos o logaritmo e o produto final:
\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)=\ln\!\left(\frac{800}{150}\right)=\ln(5{,}3333)\approx 1{,}67398.
Multiplicando:
Q = 218{,}36 \times 1{,}67398 \approx 365{,}5\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Interpretação e observações finais (curtir o resultado):
  • O valor positivo indica que o vapor absorveu calor durante a expansão (faz sentido: para manter a temperatura constante enquanto realiza trabalho, o sistema precisa receber energia na forma de calor).
  • Lembrete: usamos a aproximação de gás ideal. Para vapor muito denso ou pressões próximas à saturação, haveria desvios; aqui, como o vapor está superaquecido a 200^\circ\mathrm{C} e 800\\ \mathrm{kPa}, a aproximação é razoável para um exercício de prova e dá um valor prático de Q.

Resposta

\;365{,}5\\ \mathrm{kJ}

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