( 2,75 pontos) Um recipiente fechado de paredes rígidas contém 100 kilogramas de água que inicialmente está a 1300^{\circ} \mathrm{C} e 15000 kPa . O fluido é resfriado através da remoção de 139469 kJ na forma de calor. Faça as considerações que julgar pertinentes e adequadas/realísticas com o problema dado e responda:
a. ( 1,75 pontos) Determine a \Delta \mathrm{S}_{\text {sistema }}(\mathrm{kJ} / \mathrm{K}) do fluido durante esse processo.
b. ( 0,75 ponto) Baseado na sua resposta anterior ( \Delta \mathrm{S}_{\text {sistema }} ), você é capaz de dizer se esse processo viola a 2^{\mathrm{a}} Lei da Termodinâmica?
c. ( 0,25 ponto) Determine a temperatura final do sistema.

Passo 1

Enunciado resumido (o que é dado e o que se pede):
  • Massa do fluido: m=100\\ \mathrm{kg}.
  • Estado inicial: T_{1}=1300^{\circ}\mathrm{C} e P_{1}=15000\\ \mathrm{kPa}.
  • Calor removido do fluido: Q_{\text{removido}}=139469\\ \mathrm{kJ} (isto é, o sistema perde essa quantidade de calor).
  • O recipiente é fechado e de paredes rígidas (logo o volume total V e o volume específico v permanecem constantes).
  • Perguntas:
    a) Determinar \Delta S_{\text{sistema}} em \mathrm{kJ/K}.
    b) Com base em \Delta S_{\text{sistema}}, dizer se o processo viola a 2ª Lei da Termodinâmica.
    c) Determinar a temperatura final do sistema T_2.

Passo 2

Escolha de método e hipóteses realísticas (explicando por que os escolhi):
  • Como o enunciado não fornece tabelas termodinâmicas nem pede um método exato, faço a hipótese razoável de tratar o vapor d’água como gás ideal superaquecido. Justificativa: a temperatura inicial é muito alta ( 1300^\circ\mathrm{C}) e o sistema permanece em vapor superaquecido durante o resfriamento previsto (verificação posterior). Essa hipótese permite usar relações simples de gás ideal com calores específicos médios constantes, o que é aceitável para uma aproximação prática.
  • Tomarei um valor médio razoável para o calor específico à pressão constante do vapor superaquecido: c_{p}\approx 2{,}00\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Então c_{v}=c_{p}-R, onde R é a constante específica do vapor d’água.
  • Constante específica do vapor d’água: R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Assim c_{v}=2{,}00-0{,}4615=1{,}5385\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Fórmulas que vamos usar (e por que):
    • Balanço de energia para sistema fechado e paredes rígidas (sem trabalho de deslocamento): \Delta U = Q. Como o sistema perde calor, Q=-139469\\ \mathrm{kJ}. Em termos por massa, u_{2}-u_{1}=q com q=Q/m.
    • Para gás ideal com c_{v} constante: u(T)=u_{\text{ref}}+c_{v}(T-T_{\text{ref}}), portanto u_{2}-u_{1}=c_{v}(T_{2}-T_{1}).
    • Entropia massiva para gás ideal: s(T,v)=s_{\text{ref}}+c_{v}\ln\!\left(\dfrac{T}{T_{\text{ref}}}\right)+R\ln\!\left(\dfrac{v}{v_{\text{ref}}}\right). Como o processo ocorre a volume específico constante ( v= constante), o termo com v cancela e \Delta s = s_{2}-s_{1}=c_{v}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
    • Entropia do sistema total: \Delta S_{\text{sistema}} = m\,\Delta s.
Obs.: vou trabalhar em temperaturas absolutas (Kelvin). Converterei o resultado final de temperatura para {}^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Cálculo do volume específico inicial (verificação de consistência):
  • Converter T_{1} para Kelvin: T_{1}=1300^\circ\mathrm{C}=1300+273{,}15=1573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usando a equação de estado do gás ideal para estimar v_{1} (apenas para checar volume constante): v_{1}=\frac{R\,T_{1}}{P_{1}}.Aqui R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e P_{1}=15000\\ \mathrm{kPa}. Observação: a unidade é consistente porque 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3.
  • Calculando: v_{1}=\frac{0{,}4615\cdot 1573{,}15}{15000}=0{,}048400\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Volume total do recipiente: V = m\,v_{1}=100\cdot 0{,}048400=4{,}8400\\ \mathrm{m}^3.
(Guardamos v e V porque o processo mantém v constante.)

Passo 4

Balanço de energia para encontrar a temperatura final T_{2}:
  • Calor removido por massa: q=\frac{Q}{m}=\frac{139469\\ \mathrm{kJ}}{100\\ \mathrm{kg}}=1394{,}69\\ \mathrm{kJ/kg}.Como o sistema perde calor, u_{2}-u_{1}= -q = -1394{,}69\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para gás ideal com c_{v} constante: u_{2}-u_{1}=c_{v}(T_{2}-T_{1}) \quad\Rightarrow\quad c_{v}(T_{2}-T_{1})=-q.Logo T_{2}=T_{1}-\frac{q}{c_{v}}.
  • Substituindo números ( c_{v}=1{,}5385\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}): T_{2}=1573{,}15-\frac{1394{,}69}{1{,}5385}=1573{,}15-906{,}50\approx 666{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Converter para Celsius: T_{2}=666{,}65-273{,}15\approx 393{,}50^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia do sistema \Delta S_{\text{sistema}}:
  • Variação de entropia por unidade de massa (processo a v= constante): \Delta s = c_{v}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
  • Substituindo c_{v}=1{,}5385\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, T_{1}=1573{,}15\\ \mathrm{K}, T_{2}=666{,}65\\ \mathrm{K}: \Delta s = 1{,}5385\cdot \ln\!\left(\frac{666{,}65}{1573{,}15}\right) =1{,}5385\cdot \ln(0{,}42389) \approx 1{,}5385\cdot(-0{,}85869) \approx -1{,}3209\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Entropia total do sistema (massa m=100\\ \mathrm{kg}): \Delta S_{\text{sistema}}=m\,\Delta s=100\cdot (-1{,}3209)\approx -132{,}09\\ \mathrm{kJ/K}.Arredondando com precisão razoável: \Delta S_{\text{sistema}}\approx -132{,}1\\ \mathrm{kJ/K}.

Passo 6

Verificações de consistência e análise quanto à 2ª Lei:
  • Verificação de fase final (consistência com hipótese de vapor superaquecido):
    • Como o processo ocorreu a volume específico constante, a pressão varia proporcionalmente à temperatura absoluta (pela equação de estado ideal: P\propto T para v constante). Então P_{2}=P_{1}\frac{T_{2}}{T_{1}}=15000\cdot\frac{666{,}65}{1573{,}15}\approx 6358{,}3\\ \mathrm{kPa}.
    • A temperatura final 393{,}5^\circ\mathrm{C} a P_{2}\approx 6{,}36\\ \mathrm{MPa} ainda é típica de vapor superaquecido (não houve condensação aqui). Assim a hipótese de gás ideal superaquecido mantém-se razoavelmente consistente.
  • Sobre a 2ª Lei:
    • A variação de entropia do sistema é negativa ( \Delta S_{\text{sistema}}\approx -132{,}1\\ \mathrm{kJ/K}), o que não implica violação da 2ª Lei por si só. A 2ª Lei exige que a variação total de entropia do universo (sistema + vizinhança) seja \Delta S_{\text{total}}\ge 0.
    • Se a vizinhança recebe o calor Q_{\text{viz}}=+139469\\ \mathrm{kJ} a uma temperatura efetiva T_{\text{viz}}, então \Delta S_{\text{viz}}=\frac{Q_{\text{viz}}}{T_{\text{viz}}}=\frac{139469}{T_{\text{viz}}}\\ \mathrm{kJ/K}.Para que \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{viz}}\ge 0 precisamos de \frac{139469}{T_{\text{viz}}}\ge 132{,}09 \quad\Longrightarrow\quad T_{\text{viz}}\le \frac{139469}{132{,}09}\approx 1056{,}3\\ \mathrm{K}.
    • Em palavras: se a vizinhança estiver a uma temperatura realística (por exemplo T_{\text{viz}}\approx 300\\ \mathrm{K}), então \Delta S_{\text{viz}}=139469/300\approx 464{,}9\\ \mathrm{kJ/K}, muito maior que 132{,}1\\ \mathrm{kJ/K}, e portanto \Delta S_{\text{total}}\gg 0. Logo o processo não viola a 2ª Lei.
    • Conclusão: não há violação da 2ª Lei; a diminuição de entropia do sistema é compensada (e mais do que compensada, em situações normais) pelo aumento de entropia da vizinhança que recebe o calor removido.

Resposta

a) \Delta S_{\text{sistema}}\approx -132{,}1\\ \mathrm{kJ/K}.
b) Não — o processo não viola a 2ª Lei da Termodinâmica; a diminuição de entropia do sistema é compensada pela entropia ganha pela vizinhança (por exemplo, para T_{\text{viz}}=300\\ \mathrm{K} tem-se \Delta S_{\text{viz}}\approx 464{,}9\\ \mathrm{kJ/K}, tornando \Delta S_{\text{total}}>0).
c) T_{2}\approx 666{,}7\\ \mathrm{K} \approx 393{,}5^\circ\mathrm{C}.

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