( 3,75 pontos) Vapor d’água saturado a 125 kPa é comprimido adiabaticamente em um compressor até 400 kPa , a uma vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A eficiência do compressor é de 78 \%.
a. ( 2,0 pontos) Qual a potência necessária no compressor, em \mathrm{kJ} / \mathrm{s} ?
b. ( 1,0 pontos) Qual a temperatura do fluido na saída do compressor?
c. (0,75 pontos ) Qual a entropia gerada nesse processo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados fornecidos:
\dot m = 2{,}5\\ \mathrm{kg/s}
p_1 = 125\\ \mathrm{kPa}
p_2 = 400\\ \mathrm{kPa}
Compressão adiabática em um compressor com eficiência \eta = 78\%.
Perguntas do enunciado:
  1. Qual a potência necessária no compressor, em \mathrm{kJ/s} ?
  2. Qual a temperatura do fluido na saída do compressor?
  3. Qual a entropia gerada nesse processo?
Observação: o vapor entra como vapor saturado a p_1=125\\ \mathrm{kPa}; a temperatura de saturação correspondente será usada como T_1 (valor obtido em tabela de vapor saturado).

Passo 2

Escolha do método e hipóteses (explicação curta do porquê): o enunciado não exige explicitamente uso de tabelas de vapor superaquecido; portanto adoto uma aproximação clássica e mais direta para provas sem tabelas: tratar o vapor d’água como gás perfeito com calor específico a pressão constante aproximadamente constante. Essa aproximação permite usar relações de compressão isentrópica para gás ideal e calcular temperaturas e trabalho sem consultar longas tabelas. Justifico: para vapor seco e taxas moderadas de compressão essa aproximação dá respostas bastante próximas e é a técnica mais prática em prova quando não se pede tabela. Se você preferir, é possível refazer com tabelas de vapor superaquecido para maior precisão; aqui eu sigo o método básico (mais direto) conforme as regras de escolha do método.
Hipóteses adotadas:
c_p \approx 2{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{valor típico para vapor})í
R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{constante específica da água})íá
assumimos c_p constante e o comportamento de vapor como gás perfeito para aplicar fórmulas.

Passo 3

Cálculo do expoente adiabático efetivo k (necessário para a relação isentrópica):
k=\frac{c_p}{c_p - R}
Substituindo:
k=\frac{2{,}0}{2{,}0-0{,}4615}=\frac{2{,}0}{1{,}5385}\approx 1{,}300
Expliquei: c_p é o calor específico a pressão constante (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), R é a constante específica do vapor; k é a razão c_p/c_v usada na relação de compressão isentrópica para gás ideal.

Passo 4

Determinar a temperatura de entrada T_1 (saturada a 125\\ \mathrm{kPa}):
Peguei o valor da temperatura de saturação em tabela de vapor saturado: a p_1=125\\ \mathrm{kPa} a temperatura de saturação é aproximadamente
T_1 = 103{,}97{^\circ\!}\mathrm{C} = 377{,}12\\ \mathrm{K}.
(Na prova você deve anotar que este valor foi lido da tabela de vapor saturado.)

Passo 5

Calcular a temperatura de saída no caso isentrópico T_{2s} usando a relação de gás ideal (compressão isentrópica):
T_{2s} = T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}.
Substituindo os valores:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{400}{125}=3{,}2,
\frac{k-1}{k}=\frac{1{,}300-1}{1{,}300}=0{,}23077\ldots
T_{2s}=377{,}12\cdot(3{,}2)^{0{,}23077}\approx 377{,}12\cdot 1{,}307 \approx 492{,}8\\ \mathrm{K}.
Isso equivale a 492{,}8-273{,}15=219{,}7{^\circ\!}\mathrm{C} (temperatura isentrópica de saída).

Passo 6

Relacionar a eficiência do compressor com as temperaturas (usando c_p constante) e achar a temperatura real de saída T_2.
Para gás ideal com c_p constante temos:
h_2-h_1 = c_p(T_2-T_1),\qquad h_{2s}-h_1 = c_p(T_{2s}-T_1).
Eficiência isentrópica do compressor:
\eta = \frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}.
Isolando T_2:
T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta}.
Substituindo números:
T_2 = 377{,}12 + \frac{492{,}8-377{,}12}{0{,}78} =377{,}12 + \frac{115{,}68}{0{,}78} =377{,}12 + 148{,}36 \approx 525{,}48\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_2 \approx 525{,}48 - 273{,}15 = 252{,}33{^\circ\!}\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a potência necessária no compressor.
Variação de entalpia por kg (usando c_p constante):
\Delta h = h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1).
Substituindo:
\Delta h = 2{,}0\cdot(525{,}48-377{,}12) = 2{,}0\cdot 148{,}36 = 296{,}72\\ \mathrm{kJ/kg}.
Potência (taxa de trabalho) é:
\dot W = \dot m\,\Delta h = 2{,}5\cdot 296{,}72 \approx 741{,}8\\ \mathrm{kJ/s}.
Arredondando razoavelmente:
\dot W \approx 742{,}0\\ \mathrm{kJ/s}\quad(\text{ou }742{,}0\\ \mathrm{kW}).

Passo 8

Calcular a entropia gerada no processo.
Para gás perfeito com c_p constante, a variação de entropia por kg entre estados 1 e 2 é:
\Delta s = s_2 - s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Substituindo valores numéricos:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{525{,}48}{377{,}12}\right)=\ln(1{,}393)\approx 0{,}331,
c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=2{,}0\cdot 0{,}331 = 0{,}662\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\ln(3{,}2)\approx 1{,}16315,
R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=0{,}4615\cdot 1{,}16315 \approx 0{,}5369\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Então
\Delta s = 0{,}662 - 0{,}5369 = 0{,}1251\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Taxa de geração de entropia (como o processo é adiabático, toda variação positiva de entropia corresponde a geração irreversível):
\dot S_{gen} = \dot m\,\Delta s = 2{,}5\cdot 0{,}1251 \approx 0{,}3128\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
Arredondando:
\dot S_{gen} \approx 0{,}313\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.

Resposta

\dot W \approx 742{,}0\\ \mathrm{kJ/s} (potência necessária).
T_2 \approx 252{,}3{^\circ\!}\mathrm{C} (temperatura de saída do fluido).
\dot S_{gen} \approx 0{,}313\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)} (entropia gerada).

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