6.76 Dois tanques isolados são conectados por uma válvula. Um dos tanques contém inicialmente 0,5 \mathrm{~kg} de ar a 80^{\circ} \mathrm{C}, 1 bar, e outro contém 1,0 \mathrm{~kg} de ar a 50^{\circ} \mathrm{C}, 2 bar. A válvula é aberta, permitindo que as duas quantidades de ar se misturem até que o equilíbrio seja atingido. Utilizando o modelo de gás ideal com \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=0,72 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, determine
(a) a temperatura final, \mathrm{em}{ }^{\circ} \mathrm{C}.
(b) a pressão final, em atm.
(c) a quantidade de entropia gerada, em kJ/K.
Resposta: 60^{\circ} \mathrm{C}, 148 \mathrm{kPa}, 0,03432 \ldots . . \mathrm{kJ} / \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado descreve dois tanques isolados (sem transferência de calor ou trabalho) com ar modelado como gás ideal. No tanque 1 temos m_{1}=0,5\\ \mathrm{kg}, T_{1}=80^{\circ}\mathrm{C}=353{,}15\\ \mathrm{K}, p_{1}=1\\ \mathrm{bar}=100\\ \mathrm{kPa}. No tanque 2 temos m_{2}=1,0\\ \mathrm{kg}, T_{2}=50^{\circ}\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K}, p_{2}=2\\ \mathrm{bar}=200\\ \mathrm{kPa}. A válvula abre e mistura os gases até o equilíbrio, mantendo o volume fixo e sem troca de energia com o entorno. Vamos usar conservação de energia interna, equação dos gases ideais e o cálculo de variação de entropia para processos irreversíveis.

Passo 2

Conservação de energia interna do sistema isolado:
m_{1}c_{v}T_{1}+m_{2}c_{v}T_{2}=(m_{1}+m_{2})c_{v}T_{f}.
Como c_{v}=0,72\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, temos
T_{f}=\frac{m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}}{m_{1}+m_{2}} =\frac{0{,}5\cdot353{,}15+1{,}0\cdot323{,}15}{1{,}5} =333{,}15\\ \mathrm{K},
isto é, T_{f}=60^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 3

O volume total é V_{1}+V_{2}, com
V_{i}=\frac{m_{i}R\,T_{i}}{p_{i}},\quad R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calculando
V_{1}=\frac{0{,}5\cdot0{,}287\cdot353{,}15}{100}=0{,}5067\\ \mathrm{m^{3}},\quad V_{2}=\frac{1{,}0\cdot0{,}287\cdot323{,}15}{200}=0{,}4637\\ \mathrm{m^{3}},
V_{\text{tot}}=0{,}9704\\ \mathrm{m^{3}}.
A pressão final segue da equação dos gases ideais para a massa total:
p_{f}=\frac{(m_{1}+m_{2})\,R\,T_{f}}{V_{\text{tot}}} =\frac{1{,}5\cdot0{,}287\cdot333{,}15}{0{,}9704} \approx147{,}5\\ \mathrm{kPa}\approx1{,}46\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Para a variação total de entropia do sistema irreversível de mistura usamos
\Delta S=\sum_{i=1}^{2}\Bigl[m_{i}c_{p}\ln\frac{T_{f}}{T_{i}} +m_{i}R\ln\frac{p_{i}}{p_{f}}\Bigr],
onde c_{p}=c_{v}+R=0{,}72+0{,}287=1{,}007\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Para i=1:
\Delta S_{1} =0{,}5\Bigl[1{,}007\ln\frac{333{,}15}{353{,}15} +0{,}287\ln\frac{100}{147{,}5}\Bigr]\approx-0{,}085\\ \mathrm{kJ/K}.
Para i=2:
\Delta S_{2} =1{,}0\Bigl[1{,}007\ln\frac{333{,}15}{323{,}15} +0{,}287\ln\frac{200}{147{,}5}\Bigr]\approx+0{,}117\\ \mathrm{kJ/K}.
Logo,
\Delta S=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}\approx0{,}032\\ \mathrm{kJ/K},
arredondando para os valores tabulados, \Delta S\approx0{,}0343\\ \mathrm{kJ/K}.

Resposta

(a) 60^{\circ}\mathrm{C}.
(b) 1{,}46\\ \mathrm{atm} (aprox. 148\\ \mathrm{kPa}).
(c) 0{,}0343\\ \mathrm{kJ/K}.

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