1.79 Um manômetro U que utiliza um fluido manométrico com massa específica de 900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} apresenta uma diferença de 200 mm no nível das colunas. Qual é a diferença de pressão medida? Se a diferença de pressão se mantivesse inalterada, qual seria o novo desnível, caso o fluido fosse mudado para mercúrio de massa específica 13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a diferença de pressão medida pelo manômetro quando o fluido manométrico tem massa específica 900\\ \mathrm{kg/m^{3}} e o desnível entre as colunas é 200\\ \mathrm{mm}.
  • Se a mesma diferença de pressão se mantiver, calcular qual seria o novo desnível se o fluido fosse mercúrio com massa específica 13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Dados fornecidos:
  • Massa específica inicial: \rho_{1}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Desnível inicial: h_{1}=200\\ \mathrm{mm}.
  • Massa específica do mercúrio: \rho_{2}=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Aceleração gravitacional: será usada g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar.
A relação entre diferença de pressão e desnível de um fluido em um manômetro é a lei da hidrostática:
\Delta p=\rho\,g\,h,
onde:
  • \Delta p é a diferença de pressão entre os dois ramos (em \mathrm{Pa});
  • \rho é a massa específica do fluido manométrico (em \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}});
  • h é o desnível entre as colunas (em \mathrm{m}).
Para encontrar o novo desnível mantendo \Delta p fixo, isolamos h:
h=\frac{\Delta p}{\rho\,g}.

Passo 3

Conversão de unidades (importante para usar a fórmula corretamente).
Converter h_{1}=200\\ \mathrm{mm} para metros:
h_{1}=200\\ \mathrm{mm}=0,200\\ \mathrm{m}.
Manteremos g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Cálculo da diferença de pressão com o fluido inicial.
Usando \Delta p=\rho_{1} g h_{1}:
\Delta p = 900\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 0,200\\ \mathrm{m}.
Fazendo as contas passo a passo:
900\times 0,200=180,
180\times 9,81=1765,8.
Portanto,
\Delta p=1765,8\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais comuns:
\Delta p\approx 1,77\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento.
O valor exato calculado foi \Delta p=1765,8\\ \mathrm{Pa}. Para a prova, pode-se apresentar \Delta p\approx 1,77\\ \mathrm{kPa} (três algarismos significativos), que é a diferença de pressão que o manômetro registra com o fluido de \rho_{1}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}} e desnível de 200\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo do novo desnível com mercúrio mantendo \Delta p constante.
Usamos h_{2}=\dfrac{\Delta p}{\rho_{2} g} com \Delta p=1765,8\\ \mathrm{Pa} e \rho_{2}=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
h_{2}=\frac{1765,8\\ \mathrm{Pa}}{13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}}.
Calcule o denominador:
13600\times 9,81=133416.
Agora:
h_{2}=\frac{1765,8}{133416}\\ \mathrm{m}\approx 0,01324\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
h_{2}\approx 13,24\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação rápida por proporcionalidade (cheque mental útil na prova).
Como \Delta p=\rho g h e \Delta p é a mesma, temos h\propto 1/\rho. Logo,
h_{2}=h_{1}\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=200\\ \mathrm{mm}\times\frac{900}{13600}\approx 200\times 0,066176\approx 13,24\\ \mathrm{mm},
o mesmo resultado obtido acima — bom sinal.

Resposta

\Delta p=1765,8\\ \mathrm{Pa}\approx 1,77\\ \mathrm{kPa}\n
h_{\text{mercúrio}}\approx 13,24\\ \mathrm{mm}ú

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