1.80 Uma massa está sujeita a dois movimentos harmônicos dados por x_{1}(t)=\operatorname{sen} 30 t e x_{2}(t)=3 \operatorname{sen} 29 t. Represente em gráfico o movimento resultante da massa usando MATLAB e identifique a frequiência de batimento e o período de batimento.

Passo 1

O enunciado dá duas oscilações harmônicas que atuam simultaneamente sobre a mesma massa:
  • x_{1}(t)=\sin(30\,t).
  • x_{2}(t)=3\sin(29\,t).
O que se pede:
  • Representar graficamente o movimento resultante x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) usando MATLAB (ou equivalente).
  • Identificar a frequência de batimento e o período de batimento.
Informações relevantes dadas:
  • As frequências angulares são \omega_{1}=30 (rad/s) e \omega_{2}=29 (rad/s).
  • As amplitudes são A_{1}=1 e A_{2}=3.

Passo 2

Entendendo o fenômeno de batimento (ideia-chave, sem pular etapas).
Quando duas senóides muito próximas em frequência se somam, o resultado é uma oscilação rápida (carrier) cuja amplitude varia lentamente no tempo — essa variação lenta é o batimento. Para ver isso analiticamente é útil usar identidades trigonométricas. Primeiro, a identidade básica para a soma de duas senos com mesmas amplitude é:
\sin a+\sin b=2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Isso mostra explicitamente o “carrier” \sin\!\big(\tfrac{a+b}{2}\big) e a “envelope” \cos\!\big(\tfrac{a-b}{2}\big). Quando as amplitudes são diferentes (como aqui), convém escrever cada seno em torno da frequência média para separar termos em \sin(\omega_{\text{m}}t) e \cos(\omega_{\text{m}}t); daí obtém-se uma forma que mostra o mesmo efeito (carrier rápido multiplicado por uma amplitude que varia lentamente).

Passo 3

Aplicando a decomposição em torno da frequência média. Defina
\omega_{\text{m}}=\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2},\qquad \Delta\omega=\omega_{1}-\omega_{2}.
Para os valores dados:
\omega_{\text{m}}=\frac{30+29}{2}=29{,}5,\qquad \Delta\omega=30-29=1.
Agora escreva cada seno em termos de \omega_{\text{m}} e \tfrac{\Delta\omega}{2}. Usa-se as fórmulas
\sin(\omega_{1}t)=\sin\!\left(\omega_{\text{m}}t+\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right) =\sin(\omega_{\text{m}}t)\cos\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right) +\cos(\omega_{\text{m}}t)\sin\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right),
\sin(\omega_{2}t)=\sin\!\left(\omega_{\text{m}}t-\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right) =\sin(\omega_{\text{m}}t)\cos\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right) -\cos(\omega_{\text{m}}t)\sin\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right).
Multiplicando pelo respectivo coeficiente e somando x(t)=\sin(30t)+3\sin(29t) obtemos:
x(t)=(1+3)\sin(\omega_{\text{m}}t)\cos\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right) +(1-3)\cos(\omega_{\text{m}}t)\sin\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right).
Substituindo os números:
x(t)=4\sin(29{,}5\,t)\cos\!\left(\tfrac{1}{2}t\right)-2\cos(29{,}5\,t)\sin\!\left(\tfrac{1}{2}t\right).

Passo 4

Expressando como um carrier com amplitude (envelope) lenta.
A forma anterior pode ser reescrita como uma senóide de frequência média multiplicada por uma amplitude instantânea R(t) e um defasagem \varphi(t). O módulo da amplitude instantânea é dado por
R(t)=\sqrt{\big(4\cos(\tfrac{\Delta\omega}{2}t)\big)^{2}+\big(-2\sin(\tfrac{\Delta\omega}{2}t)\big)^{2}} =2\sqrt{4\cos^{2}\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right)+\sin^{2}\!\left(\tfrac{\Delta\omega}{2}t\right)}.
Portanto o sinal pode ser visto como
x(t)=R(t)\sin\!\big(\omega_{\text{m}}t+\varphi(t)\big),
onde R(t) varia lentamente, com argumento \tfrac{\Delta\omega}{2}t. Para localizar o período de batimento note que R(t) depende de \alpha=\tfrac{\Delta\omega}{2}t através de \cos^{2}\alpha e \sin^{2}\alpha. Como \cos^{2}\alpha e \sin^{2}\alpha têm período \pi em \alpha, a variação completa do envelope repete-se quando \alpha aumenta de \pi, isto é:
\tfrac{\Delta\omega}{2}T_{\text{bat}}=\pi \quad\Rightarrow\quad T_{\text{bat}}=\frac{2\pi}{\Delta\omega}.
Com \Delta\omega=1 obtemos
T_{\text{bat}}=\frac{2\pi}{1}=2\pi\\ \text{s}\approx 6{,}2832\\ \text{s}.
A frequência de batimento (em Hz) é o inverso do período:
f_{\text{bat}}=\frac{1}{T_{\text{bat}}}=\frac{\Delta\omega}{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\\ \text{Hz}\approx 0{,}1592\\ \text{Hz}.
(Explicação rápida de sentido físico: a amplitude passa por máximos a cada T_{\text{bat}}, então o número de “batidas” por segundo é f_{\text{bat}}=f_{1}-f_{2}=\dfrac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2\pi}.)
Como informação útil adicional, a frequência do carrier (a oscilação rápida dentro do envelope) é
\omega_{\text{m}}=29{,}5\\ \text{rad/s}\quad\Rightarrow\quad f_{\text{carrier}}=\frac{\omega_{\text{m}}}{2\pi}\approx 4{,}695\\ \text{Hz}.

Passo 5

Como fazer o gráfico no MATLAB (script mínimo e comentado). Cole esse código num arquivo ou direto no prompt do MATLAB / Octave:
% parâmetros
w1 = 30;           % omega1 (rad/s)
w2 = 29;           % omega2 (rad/s)
t = 0:0.001:20;    % vetor tempo (0 a 20 s, passo 1 ms) - ajustar conforme quiser

% sinais
x1 = sin(w1*t);
x2 = 3*sin(w2*t);
x  = x1 + x2;      % sinal resultante

% envelope teórico (fórmula derivada acima)
wd = (w1-w2)/2;
R = 2*sqrt(4*(cos(wd*t)).^2 + (sin(wd*t)).^2);

% plot
figure;
plot(t, x, 'b'); hold on;
plot(t, R, '--r', 'LineWidth',1);       % envelope superior
plot(t, -R, '--r', 'LineWidth',1);      % envelope inferior
xlabel('t (s)'); ylabel('x(t)'); grid on;
title('Sinal resultante e envelope (batimento)');
legend('x(t)','envelope','Location','best');
xlim([0 10]);    % ajustar janela para visualizar alguns batimentos
Comentários rápidos sobre o código:
  • Ajuste t e xlim para ver mais ou menos ciclos/ batimentos.
  • A linha que calcula R usa a expressão analítica do envelope que obtivemos. Se preferir uma abordagem puramente numérica, é possível usar a transformada de Hilbert para estimar o envelope, mas a expressão analítica é mais direta aqui.

Resposta

f_{\text{bat}}=\dfrac{1}{2\pi}\\ \text{Hz}\approx 0{,}1592\\ \text{Hz}
T_{\text{bat}}=2\pi\\ \text{s}\approx 6{,}2832\\ \text{s}

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