1.80 Uma massa está sujeita a dois movimentos harmônicos dados por
e
. Represente em gráfico o movimento resultante da massa usando MATLAB e identifique a frequiência de batimento e o período de batimento.
Passo 1
O enunciado dá duas oscilações harmônicas que atuam simultaneamente sobre a mesma massa:
-
. -
.
O que se pede:
- Representar graficamente o movimento resultante
usando MATLAB (ou equivalente). - Identificar a frequência de batimento e o período de batimento.
Informações relevantes dadas:
- As frequências angulares são
(rad/s) e (rad/s). - As amplitudes são
e .
Passo 2
Entendendo o fenômeno de batimento (ideia-chave, sem pular etapas).
Quando duas senóides muito próximas em frequência se somam, o resultado é uma oscilação rápida (carrier) cuja amplitude varia lentamente no tempo — essa variação lenta é o batimento. Para ver isso analiticamente é útil usar identidades trigonométricas. Primeiro, a identidade básica para a soma de duas senos com mesmas amplitude é:
Quando duas senóides muito próximas em frequência se somam, o resultado é uma oscilação rápida (carrier) cuja amplitude varia lentamente no tempo — essa variação lenta é o batimento. Para ver isso analiticamente é útil usar identidades trigonométricas. Primeiro, a identidade básica para a soma de duas senos com mesmas amplitude é:
Isso mostra explicitamente o “carrier”
e a “envelope”
. Quando as amplitudes são diferentes (como aqui), convém escrever cada seno em torno da frequência média para separar termos em
e
; daí obtém-se uma forma que mostra o mesmo efeito (carrier rápido multiplicado por uma amplitude que varia lentamente).
Passo 3
Aplicando a decomposição em torno da frequência média. Defina
Para os valores dados:
Agora escreva cada seno em termos de
e
. Usa-se as fórmulas
Multiplicando pelo respectivo coeficiente e somando
obtemos:
Substituindo os números:
Passo 4
Expressando como um carrier com amplitude (envelope) lenta.
A forma anterior pode ser reescrita como uma senóide de frequência média multiplicada por uma amplitude instantânea e um defasagem
. O módulo da amplitude instantânea é dado por
A forma anterior pode ser reescrita como uma senóide de frequência média multiplicada por uma amplitude instantânea
Portanto o sinal pode ser visto como
onde
varia lentamente, com argumento
. Para localizar o período de batimento note que
depende de
através de
e
. Como
e
têm período
em
, a variação completa do envelope repete-se quando
aumenta de
, isto é:
Com
obtemos
A frequência de batimento (em Hz) é o inverso do período:
(Explicação rápida de sentido físico: a amplitude passa por máximos a cada
, então o número de “batidas” por segundo é
.)
Como informação útil adicional, a frequência do carrier (a oscilação rápida dentro do envelope) é
Passo 5
Como fazer o gráfico no MATLAB (script mínimo e comentado). Cole esse código num arquivo ou direto no prompt do MATLAB / Octave:
% parâmetros
w1 = 30; % omega1 (rad/s)
w2 = 29; % omega2 (rad/s)
t = 0:0.001:20; % vetor tempo (0 a 20 s, passo 1 ms) - ajustar conforme quiser
% sinais
x1 = sin(w1*t);
x2 = 3*sin(w2*t);
x = x1 + x2; % sinal resultante
% envelope teórico (fórmula derivada acima)
wd = (w1-w2)/2;
R = 2*sqrt(4*(cos(wd*t)).^2 + (sin(wd*t)).^2);
% plot
figure;
plot(t, x, 'b'); hold on;
plot(t, R, '--r', 'LineWidth',1); % envelope superior
plot(t, -R, '--r', 'LineWidth',1); % envelope inferior
xlabel('t (s)'); ylabel('x(t)'); grid on;
title('Sinal resultante e envelope (batimento)');
legend('x(t)','envelope','Location','best');
xlim([0 10]); % ajustar janela para visualizar alguns batimentos
Comentários rápidos sobre o código:
- Ajuste
texlimpara ver mais ou menos ciclos/ batimentos. - A linha que calcula
Rusa a expressão analítica do envelope que obtivemos. Se preferir uma abordagem puramente numérica, é possível usar a transformada de Hilbert para estimar o envelope, mas a expressão analítica é mais direta aqui.