82 Uma barra de cobre, uma barra de alumínio e uma barra de latão, todas com 6,00 m de comprimento e 1,00 cm de diâmetro, são colocadas em contato, pelas extremidades, com a barra de alumínio no meio. A extremidade livre da barra de cobre é mantida no ponto de ebulição da água, e a extremidade livre da barra de latão é mantida no ponto de congelamento da água. Qual é a temperatura, no regime estacionário, (a) da junção cobre-alumínio e (b) da junção alumínio-latão?

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor unidimensional em regime estacionário através de três barras em série (cobre, alumínio e latão), cada uma de comprimento L=6,00 m e diâmetro d=1,00 cm. As extremidades livres estão a Trm Cu,end=100,^circC e Trm lat,end=0,^circC. Precisamos usar o conceito de resistência térmica de cada barra para achar as temperaturas nas duas junções em regime estacionário.

Passo 2

O fluxo de calor é o mesmo em todas as barras e, para cada uma, a resistência térmica é
Ri ;=;Lki,A,
onde ki é a condutividade térmica e
A = pil(tfracd2r)^2 =pil(0,005 mr)^2 =7,85times10^-5 m^2

Passo 3

Chamando krm Cu, krm Al e krm lat as condutividades do cobre, alumínio e latão, temos
Rrm Cu=Lkrm CuA, Rrm Al=Lkrm AlA, Rrm lat=Lkrm latA
A resistência total é
Rrm tot=Rrm Cu+Rrm Al+Rrm lat

Passo 4

Em regime estacionário, o fluxo de calor é
dot Q=Trm Cu,end-Trm lat,endRrm tot =100-0Rrm tot
Cada queda de temperatura ao longo de uma barra é De<a Ti=dot Q,Ri. Então:
Trm Cu!-!Al =100-De<a Trm Cu =100-Rrm CuRrm tottimes100,
Trm Al!-!lat =De<a Trm lat =Rrm latRrm tottimes100

Passo 5

Usando valores típicos de condutividade (por exemplo krm Cu=400, krm Al=200, krm lat=100 em W/ mcdot K) temos
1Ripropto ki, sum1Ri;=;krm Cu+krm Al+krm latL/A Longrightarrow Rrm CuRrm tot=1/krm Cu1/krm Cu+1/krm Al+1/krm lat
Numericamente isso dá
Trm Cu!-!Alapprox100l(1-tfrac1/4001/400+1/200+1/100r)approx85,7,^circC,
Trm Al!-!latapprox100;1/1001/400+1/200+1/100approx57,1,^circC

Resposta

(a) Trm junção Cu-Alapprox85,7,^circCçã
(b) Trm junção Al-latãoapprox57,1,^circCçãã

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