3.82. Um gás ideal, inicialmente a
e 1 bar, passa pelo seguinte processo cíclico em um sistema fechado:
(a) Em processos mecanicamente reversíveis, ele é primeiramente comprimido adiabaticamente até 5 bar, então é resfriado à pressão constante de 5 bar até
e finalmente expandido isotermicamente até sua pressão original.
(b) O ciclo é irreversível e cada etapa tem uma eficiência de
comparada com o processo mecanicamente reversível correspondente. O ciclo continua constituído por uma etapa de compressão adiabática, uma etapa de resfriamento isobárico e uma etapa de expansão isotérmica.
Calcule
e
para cada etapa do processo e para o ciclo. Considere
e
.
(a) Em processos mecanicamente reversíveis, ele é primeiramente comprimido adiabaticamente até 5 bar, então é resfriado à pressão constante de 5 bar até
(b) O ciclo é irreversível e cada etapa tem uma eficiência de
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás ideal que passa por um processo cíclico em um sistema fechado, começando a uma temperatura de
e pressão de 1 bar. O processo tem três etapas:
- Compressão adiabática até 5 bar.
- Resfriamento isobárico (pressão constante) de volta a
. - Expansão isotérmica (temperatura constante) de volta à pressão original de 1 bar.
No item (a), essas etapas são mecanicamente reversíveis. No item (b), o ciclo é irreversível com cada etapa tendo 80% da eficiência do processo reversível correspondente.
Vamos precisar entender conceitos como processos adiabáticos, isobáricos e isotérmicos, além de saber calcular $ Q $ (calor trocado), $ W $ (trabalho realizado), $ \Delta U $ (variação da energia interna) e $ \Delta H $ (variação da entalpia). As capacidades caloríficas fornecidas são $ C_p = \frac{7}{2} R $ e $ C_V = \frac{5}{2} R $, onde $ R $ é a constante dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a temperatura inicial para Kelvin, já que as equações termodinâmicas geralmente usam a escala absoluta.
Passo 3
Etapa 1: Compressão Adiabática
Em um processo adiabático, não há troca de calor ($ Q = 0 $). A relação entre pressão e volume para um gás ideal em adiabática é:
onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{\frac{7}{2} R}{\frac{5}{2} R} = \frac{7}{5} = 1,4 $.
Sabemos a pressão inicial $ P_1 = 1 , bar $ e final $ P_2 = 5 , bar $.
Usando a relação adiabática:
Então, $ V_2 = \frac{V_1}{2,03} $.
Trabalho realizado na compressão adiabática:
Como não temos os volumes específicos, vamos usar a relação com temperaturas:
Variação da energia interna:
Como não temos o valor de $ R $, deixamos em termos de $ R $.
Passo 4
Etapa 2: Resfriamento Isobárico
Aqui, a pressão permanece constante ($ P = 5 , bar $), e a temperatura volta a
($ T_3 = 298,15 , \mathrm{K} $).
Calor trocado:
Trabalho realizado:
Usando a lei dos gases ideais $ P V = n R T $, e considerando $ n = 1 $ mol para simplificar:
Variação da energia interna:
Variação da entalpia:
Passo 5
Etapa 3: Expansão Isotérmica
Agora, a temperatura permanece constante ($ T = 25^{\circ} \mathrm{C} = 298,15 , \mathrm{K}
P_4 = 1 , bar $).
Calor trocado:
Em uma expansão isotérmica de um gás ideal, a variação da energia interna é zero ($ \Delta U = 0 $), então:
Trabalho realizado:
Como $ P_3 = 5 , bar $ e $ P_4 = 1 , bar $:
Calor trocado:
Variação da energia interna:
Variação da entalpia:
Passo 6
Ciclo Completo:
Agora, vamos somar as variações para todo o ciclo.
Calor total ($ Q_{total} $):
Trabalho total ($ W_{total} $):
Sabemos que em um ciclo fechado, $ \Delta U_{ciclo} = 0 $, então $ Q_{total} = W_{total} $.
Variação da energia interna no ciclo:
Variação da entalpia no ciclo:
Resposta
Para o ciclo mecanicamente reversível:
-
Etapa 1 (Compressão Adiabática):
- $ Q = 0 $
- $ W \approx \frac{5}{2} R \times 256,65 $
- $ \Delta U \approx \frac{5}{2} R \times 256,65 $
- $ \Delta H $ não se aplica diretamente aqui.
-
Etapa 2 (Resfriamento Isobárico):
- $ Q \approx \frac{7}{2} R \times (-256,65) $
- $ W \approx -256,65 R $
- $ \Delta U \approx \frac{5}{2} R \times (-256,65) $
- $ \Delta H \approx \frac{7}{2} R \times (-256,65) $
-
Etapa 3 (Expansão Isotérmica):
- $ Q \approx 479,3 R $
- $ W \approx 479,3 R $
- $ \Delta U = 0 $
- $ \Delta H = 0 $
-
Ciclo Completo:
- $ Q_{total} \approx -420,975 R $
- $ W_{total} \approx -420,975 R $
- $ \Delta U_{ciclo} = 0 $
- $ \Delta H_{ciclo} = 0 $
Para o ciclo irreversível (com 80% de eficiência):
Cada etapa terá os valores de $ Q $ e $ W $ reduzidos para 80% dos valores calculados para o processo reversível. Assim, basta multiplicar os resultados acima por 0,8 para obter os valores correspondentes ao ciclo irreversível.