2.91 Uma bomba de calor mantém uma residência a 68^{\circ} \mathrm{F}\left(20.4^{\circ} \mathrm{C}\right). Quando operando em regime permanente, a potència de entrada da boniba de calor é de 5 \mathrm{hp}(3.7 \mathrm{~kW}), e a bomba de calon recebe energia por transférência de calor da água de um poço a 55^{\circ} \mathrm{F}\left(12.8^{\circ} \mathrm{C}\right) a uma taxa de 500 Btu/min (8792,2 W).
(a) Determine o coeficiente de desempenhs.
(b) Calculando a elemicidade a \ 0.10 por\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$, Jetermitte o custa dat cletricidade em um mês em que a bomba opera por 300 horas.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (sem resolver ainda):
  • A residência é mantida a \,68^\circ\mathrm{F}\\ (\;20,4^\circ\mathrm{C}\;).
  • A bomba de calor tem potência de entrada elétrica de \,5\\ \mathrm{hp}\\ (\;3,7\\ \mathrm{kW}\;).
  • A bomba recebe calor da água do poço à razão de \,500\\ \mathrm{Btu/min} (o enunciado também fornece esse valor convertido como \,8792,2\\ \mathrm{W}).
  • A operação é em regime permanente.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o coeficiente de desempenho (COP) da bomba de calor.
    (b) Se a eletricidade custa \$0,10 por \mathrm{kW\cdot h} e a bomba opera \,300\\ \mathrm{h} no mês, determinar o custo da eletricidade nesse mês.

Passo 2

Converter a taxa de calor dada em \mathrm{Btu/min} para \mathrm{W} (mostro a conversão para você entender a unidade):
  • Sabemos que \,1\\ \mathrm{Btu} = 1055,05585\\ \mathrm{J}.
  • A taxa é \,500\\ \mathrm{Btu/min}. Para obter potência em watts (J/s) fazemos:
Q_s = \frac{500\cdot 1055,05585}{60}\\ \mathrm{W}
  • Calculando:
Q_s = \frac{527527,925}{60}\\ \mathrm{W} = 8792,13\\ \mathrm{W}
(obs.: o enunciado dá \,8792,2\\ \mathrm{W}; a diferença é apenas de arredondamento. Vou usar \,8792,13\\ \mathrm{W} nas contas.)

Passo 3

Entender o que é o coeficiente de desempenho e a conservação de energia aqui:
  • Para uma bomba de calor que fornece calor à casa, a energia térmica entregue à casa por unidade de tempo (potência térmica de saída) \,Q_\text{out} é a soma do calor extraído da fonte fria \,Q_s e do trabalho elétrico fornecido à bomba \,W_\text{in}. Em fórmula:
Q_{\text{out}} = Q_s + W_{\text{in}}.
  • O coeficiente de desempenho (COP) para bomba de calor (modo aquecimento) é definido como a razão entre o calor entregue à casa e o trabalho elétrico fornecido:
\mathrm{COP} = \frac{Q_{\text{out}}}{W_{\text{in}}}.
  • Aqui:
    • \,Q_s é a potência de calor extraída do poço (calculada acima).
    • \,W_{\text{in}} é a potência elétrica de entrada da bomba, que é \,3,7\\ \mathrm{kW} = 3700\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calcular numericamente \,Q_{\text{out}} e a \mathrm{COP}:
  • Primeiro Q_{\text{out}}:
Q_{\text{out}} = Q_s + W_{\text{in}} = 8792,13\\ \mathrm{W} + 3700\\ \mathrm{W} = 12492,13\\ \mathrm{W}.
  • Agora a COP:
\mathrm{COP} = \frac{Q_{\text{out}}}{W_{\text{in}}} = \frac{12492,13}{3700} = 3,375999\ldots
  • Arredondando de modo prático (duas casas decimais ou três conforme preferência), podemos escrever \mathrm{COP}\approx 3,376 (ou \approx 3,38 se quiser duas casas).
  • Interpretação rápida: \mathrm{COP}>1 é esperado — a bomba entrega mais energia térmica à casa do que a energia elétrica consumida, porque também aproveita calor da água do poço.

Passo 5

Calcular a energia elétrica consumida no mês (para a parte (b)):
  • Potência elétrica é \,P = 3,7\\ \mathrm{kW}.
  • Tempo de operação é \,t = 300\\ \mathrm{h}.
  • Energia consumida:
E = P\cdot t = 3,7\\ \mathrm{kW}\cdot 300\\ \mathrm{h} = 1110\\ \mathrm{kWh}.

Passo 6

Calcular o custo dessa energia:
  • Preço da eletricidade: \$0,10 por \mathrm{kWh}.
  • Custo:
\text{Custo} = 1110\\ \mathrm{kWh}\cdot 0,10\\ \$/\mathrm{kWh} = 111,00\\ \text{\$}.
  • Ou seja, em 300 horas o gasto com eletricidade é \$111,00.

Resposta

(a) \mathrm{COP}=3,376
(b) \$111,00

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