2.95 Sabendo que P=45 \mathrm{kN}, determine a tensão máxima quando r=13 \mathrm{mm}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado o carregamento axial P=45\\ \mathrm{kN}.
  • Foi dado o raio da seção circular r=13\\ \mathrm{mm}.
  • O que se pede: determinar a tensão máxima (ou tensão normal) na seção quando o corpo é submetido a P.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula rápida): tensão normal média em uma seção transversal é a força axial dividida pela área dessa seção. A fórmula é
\sigma=\frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão (unidade: \mathrm{N/mm^{2}}, que é igual a \mathrm{MPa}), P é a força axial (unidade: \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal (unidade: \mathrm{mm^2}).
Isto vem da definição física: tensão = força distribuída por unidade de área.

Passo 3

Área de uma seção circular: como a seção é circular e foi dado o raio r, usamos
A=\pi r^{2},
onde r é o raio em \mathrm{mm}. Aqui r=13\\ \mathrm{mm}, logo
A=\pi\cdot 13^{2}\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 4

Unidades: transformar P para \mathrm{N} porque a área está em \mathrm{mm^2}.
P=45\\ \mathrm{kN}=45{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{N}=45000\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular numericamente a área:
A=\pi\cdot 13^{2}=\pi\cdot 169\\ \mathrm{mm}^{2}\approx 530{,}93\\ \mathrm{mm}^{2}.
(Usei \pi\approx 3{,}14159265; se na prova você usar \pi\approx 3{,}14 terá um valor parecido.)

Passo 6

Calcular a tensão usando \sigma=P/A:
\sigma=\frac{45000}{530{,}929\ldots}\\ \mathrm{N/mm^{2}}\approx 84{,}785\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Como 1\\ \mathrm{N/mm^{2}}=1\\ \mathrm{MPa}, podemos escrever
\sigma\approx 84{,}8\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Dicas para a prova e variações rápidas: se o enunciado tivesse dado o diâmetro d em vez do raio, use
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Também confira sempre unidades (kN → N, mm → mm) para ficar consistente e lembrar que o resultado em \mathrm{N/mm^{2}} é diretamente \mathrm{MPa}. Você mandou bem vindo até aqui — respira, repete os passos e decora a fórmula \sigma=P/A.

Resposta

\sigma_{\text{máx}}=84{,}8\\ \mathrm{MPa}á

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