Ache a equação fundamental de um sistema que obedece as seguintes relações
e
. Faça o mesmo para um sistema que segue as equações
e
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação fundamental (ou seja, a função entropia como função das variáveis extensivas apropriadas) para dois sistemas diferentes. Vou listar claramente o que é dado em cada caso.
Sistema A (primeira parte):
- Relações dadas:
-
(energia interna relacionada à pressão e volume). -
(pressão relacionada à temperatura; é uma constante).
-
- O que se pede: obter a equação fundamental na forma
(assumindo número de partículas fixo).
Sistema B (segunda parte):
- Relações dadas:
-
(energia interna molar relacionada à pressão molar e volume molar ). -
(relação entre , temperatura e volume molar ; constante).
-
- O que se pede: obter a equação fundamental na forma
(entropia molar como função de e , com número de mols fixo).
Observações sobre notação que vou usar sem perguntar:
- Para o primeiro sistema vou tratar
como energia interna total, como volume total, (ou ) como pressão, temperatura e entropia. - Para o segundo sistema as letras minúsculas
representam grandezas por mol (energia molar, entropia molar, pressão molar, volume molar).
A resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Lembrete da ferramenta principal que vou usar (fórmula e porquê): a primeira lei da termodinâmica para um sistema simples e fechadocom
fixo, escrita como forma diferencial, é
Dessa igualdade isolamos
:
Explicação didática: aqui
é a energia interna,
entropia,
temperatura absoluta e
pressão. A expressão acima mostra que se soubermos
e
como funções de
e
, conseguimos escrever
em termos de
e
e integrar para obter
. O mesmo raciocínio vale em forma molar:
quando trabalhamos com grandezas por mol.
Plano: para cada sistema vou
- Usar as equações dadas para escrever
e como funções de e (ou e ). - Substituir em
(ou ), obter a diferencial exata e integrar. - Checar a consistência (exatidão) e obter
(ou ) até uma constante aditiva.
Agora aplico isso ao primeiro sistema.
Passo 3
Sistema A: achar
e
a partir das relações dadas.
As relações dadas (veja que troquei
por
quando necessário para consistência):
-
. Desse modo isolamos :
- Também foi dado
. Isolando :
Substituindo
em
obtemos
Para a integração precisamos de
e
; então calculo-os explicitamente:
Calcule
:
Calcule
:
Agora simplifico
. Escrevendo potências:
Portanto
Passo 4
Agora escrevo
usando a forma diferencial e as expressões encontradas:
Explicação do que acabei de obter: agora
está completamente expressa em termos de
e
. Para integrar e obter
preciso verificar se essa diferencial é exata (ou seja, se existe uma função
tal que suas derivadas parciais coincidam com os coeficientes acima).
Passo 5
Verificação de exatidão (condição de compatibilidade): uma diferencial
é exata se
Aqui
e
.
Calculo as derivadas parciais:
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Como as duas derivadas coincidem, a diferencial é exata e existe
.
Passo 6
Integração para obter
.
Integro primeiro em relação a
mantendo
constante:
onde
é uma função de
(constante de integração “em relação a
”).
Fatorando constantes que não dependem de
:
A integral de
é
. Portanto
Para determinar
derivo
em relação a
e comparo com o coeficiente anteriormente obtido
:
Isso deve igualar
. Assim
, logo
é constante (independente de
).
Conclusão para o sistema A:
A constante pode ser omitida se quisermos a equação fundamental até uma constante aditiva.
Passo 7
Interpretação breve e dica prática para prova (tom amigo):
- A ideia-chave usada foi a relação
. Sempre que tiveres equações que ligam podes expressar e em termos de e integrar. - Checar a condição de exatidão é rápido: comparar
com . Se der diferente, algo está inconsistente ou falta dependência de outra variável (por exemplo número de partículas).
Agora passo ao segundo sistema.
Passo 8
Sistema B: escrever
e
a partir das relações:
- Dada
. Isolando :
- Dada
. Isolando :
Agora calculo
e
(serão usados em
):
E
Faço a simplificação passo a passo:
Passo 9
Escrevo a diferencial
(equação molar análoga a
):
Passo 10
Verificação de exatidão para
: seja
e
. Verifico se
.
Calculo
:
Calculo
:
As derivadas coincidem, logo a diferencial é exata.
Passo 11
Integração para obter
.
Integro em relação a
com
constante:
Fatorando o que não depende de
:
Comparando
com o coeficiente
para determinar
:
Igualando ao coeficiente dado, obtemos
. Logo
é constante.
Conclusão para o sistema B:
Passo 12
Resumo final e dica motivacional rápida:
- Ambos os problemas são exercícios de integração de uma diferencial termodinâmica usando as equações de estado fornecidas.
- A técnica padrão: expressar
e em termos das variáveis extensivas, checar exatidão e integrar. - Vai dar tudo certo na prova: lembra desse roteiro e pratica um ou dois exemplos similares para fixar.