Ache a equação fundamental de um sistema que obedece as seguintes relações U=P V e p=B T^{2}. Faça o mesmo para um sistema que segue as equações u=3 p v / 2 e u^{1 / 2}=B T v^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação fundamental (ou seja, a função entropia como função das variáveis extensivas apropriadas) para dois sistemas diferentes. Vou listar claramente o que é dado em cada caso.
Sistema A (primeira parte):
  • Relações dadas:
    • U = P V (energia interna relacionada à pressão e volume).
    • p = B T^{2} (pressão relacionada à temperatura; B é uma constante).
  • O que se pede: obter a equação fundamental na forma S=S(U,V) (assumindo número de partículas fixo).
Sistema B (segunda parte):
  • Relações dadas:
    • u = \tfrac{3}{2}\, p v (energia interna molar u relacionada à pressão molar p e volume molar v).
    • u^{1/2} = B\,T\,v^{1/3} (relação entre u, temperatura T e volume molar v; B constante).
  • O que se pede: obter a equação fundamental na forma s=s(u,v) (entropia molar como função de u e v, com número de mols fixo).
Observações sobre notação que vou usar sem perguntar:
  • Para o primeiro sistema vou tratar U como energia interna total, V como volume total, p (ou P) como pressão, T temperatura e S entropia.
  • Para o segundo sistema as letras minúsculas u,s,p,v representam grandezas por mol (energia molar, entropia molar, pressão molar, volume molar).
A resolução efetiva começa no Passo 2.

Passo 2

Lembrete da ferramenta principal que vou usar (fórmula e porquê): a primeira lei da termodinâmica para um sistema simples e fechadocom N fixo, escrita como forma diferencial, é
dU = T\,dS - p\,dV.
Dessa igualdade isolamos dS:
dS = \frac{1}{T}\,dU + \frac{p}{T}\,dV.
Explicação didática: aqui U é a energia interna, S entropia, T temperatura absoluta e p pressão. A expressão acima mostra que se soubermos T e p como funções de U e V, conseguimos escrever dS em termos de dU e dV e integrar para obter S(U,V). O mesmo raciocínio vale em forma molar:
du = T\,ds - p\,dv \quad\Rightarrow\quad ds = \frac{1}{T}\,du + \frac{p}{T}\,dv,
quando trabalhamos com grandezas por mol.
Plano: para cada sistema vou
  1. Usar as equações dadas para escrever T e p como funções de U e V (ou u e v).
  2. Substituir em dS (ou ds), obter a diferencial exata e integrar.
  3. Checar a consistência (exatidão) e obter S (ou s) até uma constante aditiva.
Agora aplico isso ao primeiro sistema.

Passo 3

Sistema A: achar T(U,V) e p(U,V) a partir das relações dadas.
As relações dadas (veja que troquei P por p quando necessário para consistência):
  • U = p\,V. Desse modo isolamos p:
p = \frac{U}{V}.
  • Também foi dado p = B\,T^{2}. Isolando T:
T = \sqrt{\frac{p}{B}}.
Substituindo p=U/V em T obtemos
T = \sqrt{\frac{U/V}{B}} = \frac{1}{\sqrt{B}}\sqrt{\frac{U}{V}}.
Para a integração precisamos de 1/T e p/T; então calculo-os explicitamente:
Calcule 1/T:
\frac{1}{T} = \sqrt{B}\,\sqrt{\frac{V}{U}}.
Calcule p/T:
\frac{p}{T} = \frac{U}{V}\cdot \frac{1}{T} = \frac{U}{V}\cdot \sqrt{B}\,\sqrt{\frac{V}{U}}.
Agora simplifico \dfrac{U}{V}\sqrt{\dfrac{V}{U}}. Escrevendo potências:
\frac{U}{V}\sqrt{\frac{V}{U}} = U^{1}V^{-1}\cdot V^{1/2}U^{-1/2} = U^{1-1/2}V^{-1+1/2}=U^{1/2}V^{-1/2}=\sqrt{\frac{U}{V}}.
Portanto
\frac{p}{T} = \sqrt{B}\,\sqrt{\frac{U}{V}}.

Passo 4

Agora escrevo dS usando a forma diferencial e as expressões encontradas:
dS = \frac{1}{T}\,dU + \frac{p}{T}\,dV = \sqrt{B}\,\sqrt{\frac{V}{U}}\,dU + \sqrt{B}\,\sqrt{\frac{U}{V}}\,dV.
Explicação do que acabei de obter: agora dS está completamente expressa em termos de U e V. Para integrar e obter S(U,V) preciso verificar se essa diferencial é exata (ou seja, se existe uma função S(U,V) tal que suas derivadas parciais coincidam com os coeficientes acima).

Passo 5

Verificação de exatidão (condição de compatibilidade): uma diferencial M(U,V)\,dU + N(U,V)\,dV é exata se
\frac{\partial M}{\partial V} = \frac{\partial N}{\partial U}.
Aqui M(U,V)=\sqrt{B}\,\sqrt{\dfrac{V}{U}} e N(U,V)=\sqrt{B}\,\sqrt{\dfrac{U}{V}}.
Calculo as derivadas parciais:
Derivada de M em relação a V:
\frac{\partial M}{\partial V} = \sqrt{B}\cdot \frac{\partial}{\partial V}\!\left(V^{1/2}U^{-1/2}\right) = \sqrt{B}\cdot \left(\tfrac{1}{2}V^{-1/2}U^{-1/2}\right) = \frac{\sqrt{B}}{2}\frac{1}{\sqrt{U V}}.
Derivada de N em relação a U:
\frac{\partial N}{\partial U} = \sqrt{B}\cdot \frac{\partial}{\partial U}\!\left(U^{1/2}V^{-1/2}\right) = \sqrt{B}\cdot \left(\tfrac{1}{2}U^{-1/2}V^{-1/2}\right) = \frac{\sqrt{B}}{2}\frac{1}{\sqrt{U V}}.
Como as duas derivadas coincidem, a diferencial é exata e existe S(U,V).

Passo 6

Integração para obter S(U,V).
Integro primeiro em relação a U mantendo V constante:
S(U,V) = \int \sqrt{B}\,\sqrt{\frac{V}{U}}\,dU + g(V),
onde g(V) é uma função de V (constante de integração “em relação a U”).
Fatorando constantes que não dependem de U:
S(U,V) = \sqrt{B}\,V^{1/2}\int U^{-1/2}\,dU + g(V).
A integral de U^{-1/2} é 2U^{1/2}. Portanto
S(U,V) = \sqrt{B}\,V^{1/2}\cdot 2U^{1/2} + g(V) = 2\sqrt{B}\,\sqrt{U V} + g(V).
Para determinar g(V) derivo S em relação a V e comparo com o coeficiente anteriormente obtido \sqrt{B}\sqrt{U/V}:
\frac{\partial S}{\partial V} = 2\sqrt{B}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{U}\,V^{-1/2} + g'(V) = \sqrt{B}\sqrt{\frac{U}{V}} + g'(V).
Isso deve igualar \dfrac{p}{T}=\sqrt{B}\sqrt{\dfrac{U}{V}}. Assim g'(V)=0, logo g é constante (independente de V).
Conclusão para o sistema A:
S(U,V) = 2\sqrt{B}\,\sqrt{U V} + \text{constante}.
A constante pode ser omitida se quisermos a equação fundamental até uma constante aditiva.

Passo 7

Interpretação breve e dica prática para prova (tom amigo):
  • A ideia-chave usada foi a relação dS=\dfrac{1}{T}dU+\dfrac{p}{T}dV. Sempre que tiveres equações que ligam U,p,T,V podes expressar 1/T e p/T em termos de U,V e integrar.
  • Checar a condição de exatidão é rápido: comparar \partial M/\partial V com \partial N/\partial U. Se der diferente, algo está inconsistente ou falta dependência de outra variável (por exemplo número de partículas).
Agora passo ao segundo sistema.

Passo 8

Sistema B: escrever p(u,v) e T(u,v) a partir das relações:
  • Dada u = \tfrac{3}{2}\,p\,v. Isolando p:
p = \frac{2}{3}\,\frac{u}{v}.
  • Dada u^{1/2} = B\,T\,v^{1/3}. Isolando T:
T = \frac{u^{1/2}}{B\,v^{1/3}}.
Agora calculo 1/T e p/T (serão usados em ds):
\frac{1}{T} = \frac{B\,v^{1/3}}{u^{1/2}} = B\,v^{1/3}u^{-1/2}.
E
\frac{p}{T} = \left(\frac{2}{3}\frac{u}{v}\right)\cdot \left(B\,v^{1/3}u^{-1/2}\right).
Faço a simplificação passo a passo:
\frac{p}{T} = \frac{2B}{3}\,u^{1}u^{-1/2}\,v^{-1}v^{1/3} = \frac{2B}{3}\,u^{1/2}\,v^{-2/3}.

Passo 9

Escrevo a diferencial ds (equação molar análoga a dS):
ds = \frac{1}{T}\,du + \frac{p}{T}\,dv = B\,v^{1/3}u^{-1/2}\,du + \frac{2B}{3}\,u^{1/2}v^{-2/3}\,dv.

Passo 10

Verificação de exatidão para ds: seja M(u,v)=B\,v^{1/3}u^{-1/2} e N(u,v)=\dfrac{2B}{3}u^{1/2}v^{-2/3}. Verifico se \partial M/\partial v = \partial N/\partial u.
Calculo \partial M/\partial v:
\frac{\partial M}{\partial v} = B\cdot \frac{\partial}{\partial v}\!\left(v^{1/3}u^{-1/2}\right) = B\cdot \left(\tfrac{1}{3}v^{-2/3}u^{-1/2}\right) = \frac{B}{3}u^{-1/2}v^{-2/3}.
Calculo \partial N/\partial u:
\frac{\partial N}{\partial u} = \frac{2B}{3}\cdot \frac{\partial}{\partial u}\!\left(u^{1/2}v^{-2/3}\right) = \frac{2B}{3}\cdot \left(\tfrac{1}{2}u^{-1/2}v^{-2/3}\right) = \frac{B}{3}u^{-1/2}v^{-2/3}.
As derivadas coincidem, logo a diferencial é exata.

Passo 11

Integração para obter s(u,v).
Integro em relação a u com v constante:
s(u,v) = \int B\,v^{1/3}u^{-1/2}\,du + h(v).
Fatorando o que não depende de u:
s(u,v) = B\,v^{1/3}\int u^{-1/2}\,du + h(v) = B\,v^{1/3}\cdot 2u^{1/2} + h(v) = 2B\,u^{1/2}v^{1/3} + h(v).
Comparando \partial s/\partial v com o coeficiente \dfrac{p}{T}=\dfrac{2B}{3}u^{1/2}v^{-2/3} para determinar h(v):
\frac{\partial s}{\partial v} = 2B\,u^{1/2}\cdot \frac{1}{3}v^{-2/3} + h'(v) = \frac{2B}{3}u^{1/2}v^{-2/3} + h'(v).
Igualando ao coeficiente dado, obtemos h'(v)=0. Logo h é constante.
Conclusão para o sistema B:
s(u,v) = 2B\,u^{1/2}v^{1/3} + \text{constante}.

Passo 12

Resumo final e dica motivacional rápida:
  • Ambos os problemas são exercícios de integração de uma diferencial termodinâmica usando as equações de estado fornecidas.
  • A técnica padrão: expressar 1/T e p/T em termos das variáveis extensivas, checar exatidão e integrar.
  • Vai dar tudo certo na prova: lembra desse roteiro e pratica um ou dois exemplos similares para fixar.

Resposta

S(U,V)=2\sqrt{B}\,\sqrt{U\,V}+\text{constante}\n
s(u,v)=2B\,u^{1/2}v^{1/3}+\text{constante}

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