Determine as três equações de estado de um sistema que obedece a equação u=a v^{-1} s^{2} e^{s / R}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre energia interna molar u, entropia molar s e volume molar v:
u = a\, v^{-1} s^{2} e^{s / R},
onde a e R são constantes. A tarefa é determinar as três equações de estado do sistema pedidas pelo enunciado. Ou seja, encontrar as expressões de:
  • T em função de s e v;
  • P em função de s e v;
  • e a terceira equação de estado que relaciona o potencial químico molar \mu com s e v.
Todas as informações relevantes estão na expressão de u(s,v) acima: u depende explicitamente de s e v; a e R são parâmetros conhecidos.

Passo 2

Explicando as ferramentas que vamos usar (passo didático):
  • Para uma função fundamental u(s,v) (energia interna molar expressa em termos de s e v), as equações de estado são obtidas pelas derivadas parciais da seguinte forma: T = \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{v}, \qquad P = -\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}.Essas fórmulas vêm da forma diferencial du = T\,ds - P\,dv (a relação fundamental entre u,s,v).
  • A terceira equação de estado para o potencial químico molar \mu pode ser obtida usando a relação de Euler para funções homogêneas de primeira ordem (ou simplesmente a identidade que resulta para grandezas molares): u = T s - P v + \mu \quad\Rightarrow\quad \mu = u - T s + P v.Vou usar exatamente essas três fórmulas para obter T(s,v), P(s,v) e \mu(s,v).

Passo 3

Cálculo de T=\left(\dfrac{\partial u}{\partial s}\right)_v.
Primeiro reescrevo a função para facilitar a diferenciação:
u(s,v)=a\,v^{-1}\,s^{2}\,e^{s/R}.
Como v é tratado como constante, o fator a v^{-1} sai da derivada. Preciso derivar s^{2}e^{s/R} em relação a s. Uso a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivada de s^{2}e^{s/R}:
\frac{d}{ds}\big(s^{2}e^{s/R}\big)=\big(2s\big)e^{s/R} + s^{2}e^{s/R}\cdot\frac{1}{R}.
Colocando em forma factorizada:
\frac{d}{ds}\big(s^{2}e^{s/R}\big)=e^{s/R}\big(2s + \frac{s^{2}}{R}\big)=s\,e^{s/R}\big(2+\frac{s}{R}\big).
Multiplicando pelo fator a v^{-1}:
T=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{v}=a\,v^{-1}\,s\,e^{s/R}\Big(2+\frac{s}{R}\Big).

Passo 4

Cálculo de P=-\left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)_s.
Agora s é constante e diferenciamos em relação a v. A expressão é
u(s,v)=a\,s^{2}\,e^{s/R}\,v^{-1}.
A derivada de v^{-1} em relação a v é -v^{-2}. Então
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}=a\,s^{2}\,e^{s/R}\cdot(-v^{-2}) = -a\,s^{2}\,e^{s/R}\,v^{-2}.
Aplicando o sinal negativo da definição de P:
P = -\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s} = a\,s^{2}\,e^{s/R}\,v^{-2}.

Passo 5

Cálculo de \mu = u - T s + P v.
Já temos u, T e P. Agora substituo e simplifico passo a passo.
Escrevendo cada termo:
u = a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R},
T s = \big(a\,v^{-1}s\,e^{s/R}(2+\tfrac{s}{R})\big)\,s = a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}\big(2+\tfrac{s}{R}\big),
P v = \big(a\,s^{2}e^{s/R}v^{-2}\big)\,v = a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}.
Agora somo e subtraio conforme \mu = u - T s + P v:
\mu = a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R} \;-\; a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}\big(2+\tfrac{s}{R}\big) \;+\; a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}.
Agrupando os termos com o fator comum a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}:
\mu = a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}\big(1 - (2+\tfrac{s}{R}) + 1\big) = a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}\big(2 - 2 - \tfrac{s}{R}\big).
Isso simplifica para
\mu = -\,a\,v^{-1}s^{2}e^{s/R}\cdot\frac{s}{R} = -\frac{a}{R}\,v^{-1}s^{3}e^{s/R}.

Resposta

T = a\,v^{-1}s\,e^{s/R}\Big(2+\dfrac{s}{R}\Big)
P = a\,s^{2}\,e^{s/R}\,v^{-2}
\mu = -\dfrac{a}{R}\,v^{-1}s^{3}e^{s/R}

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