Determine as três equações de estado de um sistema que obedece a equação
.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre energia interna molar
, entropia molar
e volume molar
:
onde
e
são constantes. A tarefa é determinar as três equações de estado do sistema pedidas pelo enunciado. Ou seja, encontrar as expressões de:
-
em função de e ; -
em função de e ; - e a terceira equação de estado que relaciona o potencial químico molar
com e .
Todas as informações relevantes estão na expressão de
acima:
depende explicitamente de
e
;
e
são parâmetros conhecidos.
Passo 2
Explicando as ferramentas que vamos usar (passo didático):
- Para uma função fundamental
(energia interna molar expressa em termos de e ), as equações de estado são obtidas pelas derivadas parciais da seguinte forma: Essas fórmulas vêm da forma diferencial (a relação fundamental entre ). - A terceira equação de estado para o potencial químico molar
pode ser obtida usando a relação de Euler para funções homogêneas de primeira ordem (ou simplesmente a identidade que resulta para grandezas molares): Vou usar exatamente essas três fórmulas para obter , e .
Passo 3
Cálculo de
.
Primeiro reescrevo a função para facilitar a diferenciação:
Como
é tratado como constante, o fator
sai da derivada. Preciso derivar
em relação a
. Uso a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivada de
:
Colocando em forma factorizada:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 4
Cálculo de
.
Agora
é constante e diferenciamos em relação a
. A expressão é
A derivada de
em relação a
é
. Então
Aplicando o sinal negativo da definição de
:
Passo 5
Cálculo de
.
Já temos
,
e
. Agora substituo e simplifico passo a passo.
Escrevendo cada termo:
Agora somo e subtraio conforme
:
Agrupando os termos com o fator comum
:
Isso simplifica para