Encontre a entropia S e a entropia molar para um fluido de Van der Waals.
Sabendo que a equação de Van der Waals é:
e a energia molar:
Passo 1
O enunciado dá duas relações molar para o fluido de Van der Waals e pede a entropia total
e a entropia molar (denotada aqui por
). Informações fornecidas:
- Equação de estado de Van der Waals:
- Energia interna molar:
-
é o volume molar, a temperatura, a pressão, a constante dos gases, e são constantes (assume-se = molar, constante).
O que se pede: - Encontrar a entropia molar
. - A partir dela, obter a entropia total
para mols (ou expressões equivalentes em termos de e ).
Passo 2
Vamos usar a relação termodinâmica fundamental para quantidades molares (processo reversível e sistema fechado):
Explicação curta e prática:
-
é a energia interna molar; é sua variação infinitesimal. -
é o calor reversível molar recebido (pois ). -
é o trabalho de pressão-volume por mol.
Rearranjando para obter:
Essa fórmula nos dá
em termos de
,
e
; substituímos as expressões dadas.
Passo 3
Calcular o diferencial de
usando
. Diferenciando:
Detalhe do sinal:
, então o termo em
fica
.
Passo 4
Substituir
e
em
:
Agrupando os termos em
:
Agora usei a equação de Van der Waals para simplificar
. Da equação de estado:
Portanto o coeficiente de
fica
Substituindo de volta:
Passo 5
A expressão encontrada para
é uma diferencial exata em
e
, então podemos integrar para obter
. Integramos termo a termo:
- Integração do primeiro termo:
- Integração do segundo termo:
Como a soma das integrais deve representar uma função
, a constante final será uma constante aditiva que pode ser tomada como constante por mol (denotada por
). Portanto:
Aqui
é uma constante de integração (entropia molar de referência), que pode ser determinada por condições de referência se necessário. Observação: se
constante, o termo
é o que se espera fisicamente; o termo
incorpora o volume efetivo disponível por molécula.
Passo 6
Entropia total
para
mols. Se
é a entropia por mol, então, assumindo um sistema homogêneo e extensivo,
Como
é o volume molar
, pode-se também escrever
em função de
e
:
Essas são as formas usuais e consistentes com extensividade (a constante
multiplicada por
dá a constante de referência para
).
Passo 7
Checagem rápida de limite: para
e
(gás ideal com
constante) a expressão reduz-se a
que é a forma conhecida para entropia molar de um gás ideal (até uma constante). Isso confirma coerência.