Ache a série de Fourier de
.
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a série de Fourier da função
Estamos em “Séries de Fourier” e, mais especificamente, lidando com uma função par (pois
é igual para
e
). Para resolver vamos usar:
- A fórmula geral da série de Fourier para período
. - O fato de que, em função par, só aparecem termos em cosseno (os senos somem).
- Cálculo dos coeficientes
e via integrais (usando integração por partes).
Passo 2
Teoria rápida: uma função
de período
se expande assim:
com
Como
é par,
e
Passo 3
Vamos achar
:
Então o termo constante da série é
.
Passo 4
Agora
:
Definimos
e vamos calcular
por integração por partes.
Passo 5
1ª integração por partes em
:
Escolhemos
Escolhemos
Logo
pois
.
Passo 6
2ª integração por partes em
u=t^3,;dv=sin(nt),dt ;Longrightarrow; du=3t^2,dt,;v=-cos(nt)n :
Fica
Passo 7
3ª integração por partes em
u=t^2,;dv=cos(nt),dt ;Longrightarrow; du=2t,dt,;v=sin(nt)n :
Então
pois
.
Passo 8
4ª integração por partes em
u=t,;dv=sin(nt),dt ;Longrightarrow; du=dt,;v=-cos(nt)n :
Dá
Agora voltamos para cima:
Então
Resposta
A série de Fourier de
boxed f(t) =pi^45 +sumn=1^infty (-1)^nl(8pi^2n^2-48n^4r)cos(nt) é