Ache a série de Fourier de f(t).
f(t)=t^4,-pi <= t <= pi, f(t+2 pi)=f(t).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a série de Fourier da função
f(t)=t^4, -pi<= t<=pi, f(t+2pi)=f(t)
Estamos em “Séries de Fourier” e, mais especificamente, lidando com uma função par (pois é igual para e ). Para resolver vamos usar:
  1. A fórmula geral da série de Fourier para período .
  2. O fato de que, em função par, só aparecem termos em cosseno (os senos somem).
  3. Cálculo dos coeficientes e via integrais (usando integração por partes).

Passo 2

Teoria rápida: uma função f(t)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nt)+bnsin(nt)r), de período an=1piintegral-pi^pif(t)cos(nt),dt, bn=1piintegral-pi^pif(t)sin(nt),dt se expande assim:
an=2piintegral0^pit^4cos(nt),dt, a0=1piintegral-pi^pit^4,dt =2piintegral0^pit^4,dt
com
Como é par, e

Passo 3

Vamos achar a0 =2piintegral0^pit^4,dt =2pi,l[t^55r]0^pi =2pi,pi^55 =2pi^45 :
Então o termo constante da série é .

Passo 4

Agora an =2piintegral0^pit^4cos(nt),dt :
I(n)=integral0^pit^4cos(nt),dt
Definimos
e vamos calcular por integração por partes.

Passo 5

1ª integração por partes em u=t^4, dv=cos(nt),dt ;Longrightarrow; du=4t^3,dt,;v=sin(nt)n :
Escolhemos
I(n) =l[t^4sin(nt)nr]0^pi -integral0^pi4t^3sin(nt)n,dt =-4nunderbraceintegral0^pit^3sin(nt),dtJ(n),
Logo
pois .

Passo 6

2ª integração por partes em u=t^3,;dv=sin(nt),dt ;Longrightarrow; du=3t^2,dt,;v=-cos(nt)n :
J(n) =l[-t^3cos(nt)nr]0^pi +integral0^pi 3t^2cos(nt)n,dt =-pi^3(-1)^nn+3nunderbraceintegral0^pi t^2cos(nt),dtK(n)
Fica

Passo 7

3ª integração por partes em u=t^2,;dv=cos(nt),dt ;Longrightarrow; du=2t,dt,;v=sin(nt)n :
K(n) =l[t^2sin(nt)nr]0^pi -integral0^pi 2tsin(nt)n,dt =-2nunderbraceintegral0^pi tsin(nt),dtL(n),
Então
pois .

Passo 8

4ª integração por partes em u=t,;dv=sin(nt),dt ;Longrightarrow; du=dt,;v=-cos(nt)n :
L(n) =l[-tcos(nt)nr]0^pi +integral0^picos(nt)n,dt =-pi(-1)^nn +1nl[sin(nt)nr]0^pi =-pi(-1)^nn
an =2piI(n) =(-1)^nl(8pi^2n^2-48n^4r)
Agora voltamos para cima:


Então

Resposta

A série de Fourier de boxed f(t) =pi^45 +sumn=1^infty (-1)^nl(8pi^2n^2-48n^4r)cos(nt) é

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