Resolver o problema misto
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede: a gente tem a equação do calor
com as condições de contorno
e a condição inicial
O conteúdo principal é PDE (equação de calor) com contorno de Dirichlet e solução por separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos precisar:
1) Supor
2) Resolver o problema de autovalores para
3) Resolver a equação temporal para
4) Ajustar a série de Fourier à condição .
Passo 2
Supomos
Substituindo na PDE:
onde escolhemos o sinal ‘–’ para termos autovalores positivos.
Passo 3
Spatial:
As soluções não-triviais só existem para
com
, e
Passo 4
Temporal: para cada
temos
Passo 5
Soma de modos (série de Fourier):
Agora impomos . Como
é base ortonormal em
, só o termo
aparece, e