Resolver o problema misto

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede: a gente tem a equação do calor
partial upartial t=a,partial^2upartial x^2, 00
com as condições de contorno
u(0,t)=0, u(pi,t)=0
e a condição inicial

O conteúdo principal é PDE (equação de calor) com contorno de Dirichlet e solução por separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos precisar:
1) Supor u(x,0)=sen x, .
2) Resolver o problema de autovalores para .
3) Resolver a equação temporal para .
4) Ajustar a série de Fourier à condição .

Passo 2

Supomos
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE:
X(x),T'(t)=a,X''(x),T(t) ;Longrightarrow; T'(t)a,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde escolhemos o sinal ‘–’ para termos autovalores positivos.

Passo 3

Spatial:
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0,;X(pi)=0
As soluções não-triviais só existem para
Xn(x)=sin(nx) com , e

Passo 4

Temporal: para cada Tn'(t)+a,n^2,Tn(t)=0 ;Longrightarrow; Tn(t)=Cn,e^-a,n^2,t temos

Passo 5

Soma de modos (série de Fourier):
u(x,t)=sumn=1^infty An,e^-a,n^2 tsin(nx)
Agora impomos . Como A1=1, An>=2=0 é base ortonormal em , só o termo aparece, e

Resposta

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