Admitindo dois sistemas separados por uma parede rígida e impermeável com energias U_{1} e U_{2}, mostre que a temperatura do sistema 1 é igual a temperatura do sistema 2, admitindo a variação da entropia nula ( \mathrm{dS}=0 ).

Passo 1

O enunciado apresenta dois subsistemas termodinâmicos 1 e 2, separados por uma parede rígida e impermeável, de modo que não há troca de volume nem de matéria entre eles, apenas energia (sob a forma de calor). As energias internas são U_{1} e U_{2} e a condição de equilíbrio é dada por
dS = dS_{1} + dS_{2} = 0.
O que precisamos usar é a relação fundamental da entropia em volume e número de partículas constantes:
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} = \frac{1}{T}.

Passo 2

Para cada subsistema, em condições de V e N constantes, vale
dS_{i} \;=\;\left(\frac{\partial S_{i}}{\partial U_{i}}\right)_{V,N}\,dU_{i} \;=\;\frac{1}{T_{i}}\,dU_{i}, \quad i=1,2.
Portanto, a variação total da entropia é
dS = dS_{1} + dS_{2} = \frac{1}{T_{1}}\,dU_{1} \;+\;\frac{1}{T_{2}}\,dU_{2}.

Passo 3

Como a parede é rígida e impermeável, a única troca entre os subsistemas é energia, de modo que a energia total U = U_{1}+U_{2} permanece constante. Logo,
dU_{1} + dU_{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad dU_{2} = -\,dU_{1}.
Substituindo em dS=0 obtém-se
0 = \frac{1}{T_{1}}\,dU_{1} + \frac{1}{T_{2}}\bigl(-\,dU_{1}\bigr) = \Bigl(\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}}\Bigr)\,dU_{1}.
Como dU_{1} é, em princípio, arbitrário, o coeficiente deve ser zero:
\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; T_{1} = T_{2}.

Resposta

T_{1} = T_{2}

Exercícios relacionados