Mostre que a energia cinética de translação média por molécula a uma temperatura T é dada por:
\frac{1}{2} m\left\langle v^{2}\right\rangle=\frac{3}{2} k T

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um gás ideal na temperatura T, a energia cinética de translação média por molécula
\frac12\,m\bigl\langle v^2\bigr\rangle
vale
\frac32\,k\,T.
O conteúdo principal é a teoria cinética dos gases e, em particular, a distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann para partículas de massa m a uma temperatura T.

Passo 2

A distribuição de probabilidade dos módulos de velocidade \,v\ge0 é
f(v) = 4\pi \Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{\!3/2} \,v^2\, \exp\Bigl(-\frac{m\,v^2}{2\,kT}\Bigr).
Sabendo isso, a média de v^2 é
\bigl\langle v^2\bigr\rangle = \int_{0}^{\infty} v^2\,f(v)\,\mathrm{d}v = 4\pi \Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{\!3/2} \int_{0}^{\infty} v^4 \exp\Bigl(-\frac{m\,v^2}{2\,kT}\Bigr) \mathrm{d}v.

Passo 3

Usamos o resultado de integral de Gauss generalizada, que diz
\int_{0}^{\infty} v^4 \,e^{-\alpha\,v^2} \mathrm{d}v = \frac{3\sqrt{\pi}}{8\,\alpha^{5/2}}.
Aqui \alpha=\tfrac{m}{2kT}. Substituindo na expressão de \langle v^2\rangle obtém-se
\bigl\langle v^2\bigr\rangle = 4\pi \Bigl(\frac{m}{2\pi kT}\Bigr)^{\!3/2} \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{8} \Bigl(\frac{2kT}{m}\Bigr)^{\!5/2} = \frac{3\,kT}{m}.

Passo 4

Finalmente, a energia cinética média por molécula é
\frac12\,m\,\bigl\langle v^2\bigr\rangle = \frac12\,m \cdot \frac{3\,kT}{m} = \frac32\,k\,T,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\frac12\,m\bigl\langle v^2\bigr\rangle = \frac32\,k\,T.

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