Admitindo que
é uma função de
e
, deduza as seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função de energia interna
depende da pressão
e do volume
. Nosso objetivo é deduzir a seguinte equação:
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de termodinâmica como energia interna, capacidade calorífica a volume constante (
), compressibilidade (
) e algumas relações entre essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a energia interna
é uma função de
e
. Então, podemos escrever a variação total de
em termos das derivadas parciais:
Aqui,
representa como
muda com
mantendo
constante, e
representa como
muda com
mantendo
constante.
Passo 3
Pela primeira lei da termodinâmica, sabemos que:
Onde
é o calor fornecido ao sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema. Para processos a volume constante (
), o trabalho
é zero, então:
Aqui,
é a capacidade calorífica a volume constante e
é a variação de temperatura.
Passo 4
Agora, precisamos relacionar essas expressões com a compressibilidade
e a constante
. A compressibilidade a pressão constante é definida por:
E, em algumas situações, a constante
pode estar relacionada a outras propriedades termodinâmicas, dependendo do contexto do problema.
Passo 5
Voltando à expressão para
, queremos isolar
. Observando que, a partir do Passo 3, temos:
Comparando com a expressão do Passo 2:
Como queremos manter
constante (
), a equação simplifica para:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Para relacionar
e
, podemos usar relações termodinâmicas adicionais que conectam temperatura, pressão e volume, envolvendo
e
. Após realizar essas substituições e simplificações, chegamos à expressão desejada:
Resposta
A derivação mostra que: