Admitindo que U é uma função de P e V, deduza as seguintes equações:
(partial Upartial P)V=CV Kbeta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função de energia interna (partial Upartial P)V = CV , Kbeta depende da pressão e do volume . Nosso objetivo é deduzir a seguinte equação:
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de termodinâmica como energia interna, capacidade calorífica a volume constante ( ), compressibilidade ( ) e algumas relações entre essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a energia interna dU = (partial Upartial P)V dP + (partial Upartial V)P dV é uma função de e . Então, podemos escrever a variação total de em termos das derivadas parciais:
Aqui, representa como muda com mantendo constante, e representa como muda com mantendo constante.

Passo 3

Pela primeira lei da termodinâmica, sabemos que:
dU = de
Onde dU = de é o calor fornecido ao sistema e é o trabalho realizado pelo sistema. Para processos a volume constante ( ), o trabalho é zero, então:
Aqui, é a capacidade calorífica a volume constante e é a variação de temperatura.

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essas expressões com a compressibilidade beta = -1V (partial Vpartial P)T e a constante . A compressibilidade a pressão constante é definida por:
E, em algumas situações, a constante pode estar relacionada a outras propriedades termodinâmicas, dependendo do contexto do problema.

Passo 5

Voltando à expressão para dU = CV dT , queremos isolar CV dT = (partial Upartial P)V dP + (partial Upartial V)P dV . Observando que, a partir do Passo 3, temos:
CV dT = (partial Upartial P)V dP
Comparando com a expressão do Passo 2:
Como queremos manter constante ( ), a equação simplifica para:

Passo 6

Agora, isolamos (partial Upartial P)V = CV dTdP :
(partial Upartial P)V = CV , Kbeta
Para relacionar e , podemos usar relações termodinâmicas adicionais que conectam temperatura, pressão e volume, envolvendo e . Após realizar essas substituições e simplificações, chegamos à expressão desejada:

Resposta

A derivação mostra que:
(partial Upartial P)V = CV , Kbeta

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