Calcule o trabalho realizado por um mol de gás durante uma expansão isotérmica quase estática, desde um volume
até um volume final
, quando a equaç ao for:
constantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um mol de gás durante uma expansão isotérmica quase estática, ou seja, a temperatura permanece constante e o processo é lento. A equação que temos é
, onde
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente o cálculo do trabalho em processos isotérmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma expansão isotérmica quase estática. “Isotérmica” quer dizer que a temperatura
do gás não muda durante a expansão. “Quase estática” indica que o processo é realizado de maneira lenta e equilibrada, permitindo que o gás esteja sempre próximo do equilíbrio termodinâmico.
Passo 3
O trabalho realizado pelo gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em função do volume:
Aqui,
é o volume inicial e
é o volume final.
Passo 4
Temos a equação de estado fornecida:
. Podemos resolver essa equação para
:
Essa expressão relaciona a pressão
com o volume
.
Passo 5
Agora, vamos substituir a expressão de
na integral do trabalho:
Como
e
são constantes (já que a temperatura é constante), podemos tirá-los da integral:
Passo 6
A integral
é uma integral logarítmica. A solução dessa integral é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Podemos simplificar utilizando a propriedade dos logaritmos
:
Resposta
O trabalho realizado pelo mol de gás durante a expansão isotérmica é: