Calcule o trabalho realizado por um mol de gás durante uma expansão isotérmica quase estática, desde um volume vi até um volume final vf, quando a equaç ao for:
P(v-b)=R theta, (R, b= constantes )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um mol de gás durante uma expansão isotérmica quase estática, ou seja, a temperatura permanece constante e o processo é lento. A equação que temos é , onde e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente o cálculo do trabalho em processos isotérmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma expansão isotérmica quase estática. “Isotérmica” quer dizer que a temperatura do gás não muda durante a expansão. “Quase estática” indica que o processo é realizado de maneira lenta e equilibrada, permitindo que o gás esteja sempre próximo do equilíbrio termodinâmico.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em função do volume:
W = integralvi^vf P , dv
Aqui, é o volume inicial e é o volume final.

Passo 4

Temos a equação de estado fornecida: P = R thetav - b . Podemos resolver essa equação para :
Essa expressão relaciona a pressão com o volume .

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão de W = integralvi^vf R thetav - b , dv na integral do trabalho:
W = R theta integralvi^vf 1v - b , dv
Como e são constantes (já que a temperatura é constante), podemos tirá-los da integral:

Passo 6

A integral integral 1v - b , dv = ln|v - b| + C é uma integral logarítmica. A solução dessa integral é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de W = R theta [ ln(vf - b) - ln(vi - b) ] a W = R theta ln( vf - bvi - b ) :
Podemos simplificar utilizando a propriedade dos logaritmos :

Resposta

O trabalho realizado pelo mol de gás durante a expansão isotérmica é:
W = R theta ln( vf - bvi - b )

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