Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de T e P, deduza as equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a energia interna
de um sistema hidrostático é uma função da temperatura
e da pressão
. Nosso objetivo é deduzir a equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como capacidade calorífica a pressão constante (
), volume (
) e coeficiente de expansão térmica (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna
é uma função de
e
. Então, podemos escrever a variação de
como:
Mas para sistemas hidrostáticos, sabemos que a variação de energia interna também pode ser relacionada com o trabalho realizado pelo sistema. Vamos explorar isso.
Passo 3
Sabemos da primeira lei da termodinâmica que:
Onde
é o calor trocado e
é o trabalho realizado. Para processos a pressão constante, o trabalho
é dado por:
Então, temos:
Passo 4
A capacidade calorífica a pressão constante
é definida como:
Para processos reversíveis, podemos escrever
. Substituindo na equação de
:
Passo 5
Comparando essa expressão com a variação geral de
que escrevemos no Passo 2:
Percebemos que a derivada de
em relação a
a pressão constante é:
Passo 6
Agora, vamos lembrar que o coeficiente de expansão térmica
é definido como:
Rearranjando, temos:
Substituindo isso na expressão que encontramos no Passo 5:
Resposta
Portanto, deduzimos que: