Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de T e P, deduza as equações:
(partial Upartial theta)theta=CP-P V beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a energia interna (partial Upartial T)P = CP - P V beta de um sistema hidrostático é uma função da temperatura e da pressão . Nosso objetivo é deduzir a equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como capacidade calorífica a pressão constante ( ), volume ( ) e coeficiente de expansão térmica ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia interna dU = (partial Upartial T)P dT + (partial Upartial P)T dP é uma função de e . Então, podemos escrever a variação de como:
Mas para sistemas hidrostáticos, sabemos que a variação de energia interna também pode ser relacionada com o trabalho realizado pelo sistema. Vamos explorar isso.

Passo 3

Sabemos da primeira lei da termodinâmica que:
dU = de
Onde de é o calor trocado e dU = de é o trabalho realizado. Para processos a pressão constante, o trabalho é dado por:
Então, temos:

Passo 4

A capacidade calorífica a pressão constante CP = (partial Qpartial T)P é definida como:
dU = CP dT - P dV
Para processos reversíveis, podemos escrever . Substituindo na equação de :

Passo 5

Comparando essa expressão com a variação geral de dU = (partial Upartial T)P dT + (partial Upartial P)T dP que escrevemos no Passo 2:
(partial Upartial T)P = CP - P (partial Vpartial T)P
Percebemos que a derivada de em relação a a pressão constante é:

Passo 6

Agora, vamos lembrar que o coeficiente de expansão térmica beta = 1V (partial Vpartial T)P é definido como:
(partial Vpartial T)P = V beta
Rearranjando, temos:
(partial Upartial T)P = CP - P V beta
Substituindo isso na expressão que encontramos no Passo 5:

Resposta

Portanto, deduzimos que:
(partial Upartial T)P = CP - P V beta

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