Água a 28^{\circ} \mathrm{C} escoa em um tubo reto horizontal, no qual não há transferência de calor ou de trabalho com a vizinhança. Sua velocidade é de 14 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} em uma seção do tubo com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm}. A água passa dessa seção para outra seção onde ocorre um aumento brusco do diâmetro. Qual será a variação da temperatura da
água se o diâmetro da segunda seção for de 3,8 \mathrm{~cm} ? E se ele for de 7,5 \mathrm{~cm} ? Qual é a máxima variação de temperatura para um aumento do diâmetro do tubo?

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento adiabático de água em um tubo horizontal, sem troca de trabalho ou calor com a vizinhança. Temos uma seção inicial com diâmetro interno D_1=2,5\:\text{cm} e velocidade v_1=14\:\text{m/s}, à temperatura T_1=28^\circ\text{C}. Em seguida ocorre um aumento brusco para uma segunda seção de diâmetro D_2. O objetivo é achar a variação de temperatura \Delta T=T_2-T_1. Para isso vamos usar a equação de energia (Primeira Lei para escoamento estacionário) e relacionar entalpia e temperatura via calor específico.

Passo 2

Em um escoamento adiabático, estacionário e horizontal (energia potencial desprezível), a Primeira Lei dá
h_1 + \frac{v_1^2}{2} \;=\; h_2 + \frac{v_2^2}{2}.
Como dh = c_p\,dT e assumindo c_p constante para a água c_p=4180\:\text{J/(kg\cdotK)}, temos
c_p\,(T_2 - T_1) \;=\; -\frac{v_2^2 - v_1^2}{2},
logo
\Delta T \;=\; T_2 - T_1 \;=\; -\frac{v_2^2 - v_1^2}{2\,c_p}\,.
Também a vazão volumétrica é constante, logo v_2 = v_1\,\bigl(A_1/A_2\bigr) = v_1\,(D_1/D_2)^2.

Passo 3

Para D_2=3{,}8\:\text{cm}=0{,}038\:\text{m}:
v_2 = 14\;\bigl(\tfrac{0,025}{0,038}\bigr)^2 = 14 \times (0,6579)^2 \approx 6,06\:\text{m/s}.
Então
v_2^2 - v_1^2 = (6,06)^2 - (14)^2 \approx 36,7 - 196 = -159,3\:\text{(m}^2\!/s^2).
Substituindo em \Delta T:
\Delta T = -\frac{-159{,}3}{2\times4180} \approx 0{,}0190\:\text{K}.

Passo 4

Para D_2=7{,}5\:\text{cm}=0{,}075\:\text{m}:
v_2 = 14\;\bigl(\tfrac{0,025}{0,075}\bigr)^2 = 14 \times (0,3333)^2 \approx 1,56\:\text{m/s},
v_2^2 - v_1^2 = (1,56)^2 - (14)^2 \approx 2,43 - 196 = -193,6\:\text{(m}^2\!/s^2),
\Delta T = -\frac{-193{,}6}{2\times4180} \approx 0{,}0232\:\text{K}.

Passo 5

A variação máxima de temperatura ocorre quando D_2\to\infty, isto é, v_2\to0. Então
v_2^2 - v_1^2 \to -v_1^2 = -196,
\Delta T_{\max} = -\frac{-196}{2\times4180} = \frac{196}{8360} \approx 0{,}0234\:\text{K}.

Resposta

Para D_2=3{,}8\:\text{cm}: \Delta T\approx+0{,}0190\:\text{K}.
Para D_2=7{,}5\:\text{cm}: \Delta T\approx+0{,}0232\:\text{K}.
Variação máxima (quando D_2\to\infty): \Delta T_{\max}\approx+0{,}0234\:\text{K}.

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