(a) Água escoa através de um bocal de uma mangueira de jardim. Encontre uma expressão para \dot{m} em função da pressão na mangueira P_{1}, da pressão ambiente P_{2}, do diâmetro interno da mangueira D_{1}, e do diâmetro na saída do bocal D_{2}. Considere escoamento estacionário, e operação isotérmica e adiabática. Para a água líquida modelada como um fluido incompressível, H_{2}-H_{1}=\left(P_{2}-P_{1}\right) / \rho para temperatura constante.
(b) De fato, o escoamento não pode ser na verdade isotérmico: nós esperamos que T_{2}>T_{1} em função do atrito no fluido. Por isso, H_{2}-H_{1}=C\left(T_{2}-T_{1}\right)+\left(P_{2}-P_{1}\right) \rho, onde C é o calor específico da água. Diretamente, como a inclusão da variação de temperatura afetaria o valor de in encontrado no item (a)?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão para a vazão mássica \dot{m} da água que sai por um bocal, usando como dados as pressões na mangueira e no ambiente P_{1} e P_{2}, e os diâmetros interno da mangueira D_{1} e do bocal D_{2}. O problema diz para considerar escoamento estacionário e tratar os casos isotérmico e adiabático. Também fornece a relação (para água incompressível) em temperatura constante:
H_{2}-H_{1}=\frac{P_{2}-P_{1}}{\rho}.
Perguntas claras:
  • (a) Obter \dot{m} em função de P_{1},P_{2},D_{1},D_{2} para operação isotérmica e para operação adiabática.
  • (b) Explicar como a inclusão da variação de temperatura (isto é, T_{2}>T_{1}) afeta o valor de \dot{m} encontrado em (a).
Dados relevantes listados:
  • Pressões: P_{1} (mangueira), P_{2} (ambiente).
  • Diâmetros: D_{1} (mangueira), D_{2} (bocal).
  • Densidade da água: \rho (constante, fluido incompressível).
  • Para temperatura constante: H_{2}-H_{1}=(P_{2}-P_{1})/\rho.
  • Em (b) é dada a forma geral (para variar temperatura): H_{2}-H_{1}=C\,(T_{2}-T_{1})+\dfrac{P_{2}-P_{1}}{\rho}, onde C é o calor específico (nota: usei a forma com \dfrac{P_{2}-P_{1}}{\rho} porque assim a unidade fica consistente com entalpia por unidade de massa).

Passo 2

Vamos escolher as equações físicas que se aplicam (explicando cada uma com calma):
  1. Continuidade (conservação de massa) para escoamento estacionário de densidade constante:
\dot{m}=\rho A_{1} V_{1}=\rho A_{2} V_{2},
onde A_{i} é a área da secção i e V_{i} é a velocidade média em i. Aqui A_{i}=\dfrac{\pi D_{i}^{2}}{4}.
Explicação didática: a massa que entra por segundo na seção 1 deve ser igual à massa que sai por segundo na seção 2 quando o regime é estacionário. Para fluido incompressível, \rho é constante, então a razão entre velocidades é inversamente proporcional à razão entre áreas.
  1. Energia por unidade de massa (equação de Bernoulli/primeira lei para fluxo estacionário, sem trocas de trabalho de eixo e desprezando energia potencial): entre 1 e 2, se desprezarmos perdas por atrito convertidas em calor (caso ideal), vale
h_{1}+\frac{V_{1}^{2}}{2}=h_{2}+\frac{V_{2}^{2}}{2},
onde h é a entalpia específica (entalpia por unidade de massa). Reescrevendo:
V_{2}^{2}-V_{1}^{2}=2(h_{1}-h_{2}).
Explicação didática: pressão e temperatura contribuem para a entalpia específica; a diferença de entalpia entre entrada e saída se transforma em variação de energia cinética (velocidade). Esta forma é válida se não há trabalho de eixo, nem troca de calor com o ambiente (ou se a troca de calor já está incorporada na variação de h) e se a diferença de altura for desprezível.
  1. Relação entre entalpias dada pelo problema:
  • Isotérmico ( T_1=T_2):
h_{2}-h_{1}=\frac{P_{2}-P_{1}}{\rho}.
  • Generalizando (quando há variação de temperatura):
h_{2}-h_{1}=C\,(T_{2}-T_{1})+\frac{P_{2}-P_{1}}{\rho}.
Explicação didática: para fluido praticamente incompressível, h\approx C\,T + \dfrac{P}{\rho}; assim a variação de h tem contribuição térmica C\,\Delta T e contribuição de pressão \Delta P/\rho.

Passo 3

Derivação para o caso isotérmico (caso mais simples).
Usando a equação de energia:
V_{2}^{2}-V_{1}^{2}=2(h_{1}-h_{2}).
Como para isotérmico h_{2}-h_{1}=\dfrac{P_{2}-P_{1}}{\rho}, temos
h_{1}-h_{2}=\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho}.
Logo
V_{2}^{2}-V_{1}^{2}=2\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho}.
Agora aplicamos a continuidade para eliminar V_{1}. Da continuidade:
V_{1}=\frac{A_{2}}{A_{1}}V_{2}.
Substituindo em V_{2}^{2}-V_{1}^{2}:
V_{2}^{2}-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}V_{2}\right)^{2} =V_{2}^{2}\left(1-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right) =2\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho}.
Isolando V_{2}^{2}:
V_{2}^{2}=\frac{2\,(P_{1}-P_{2})/\rho}{1-(A_{2}/A_{1})^{2}}.
Portanto a vazão mássica, usando \dot{m}=\rho A_{2}V_{2}, fica
\dot{m}=\rho A_{2}\sqrt{\frac{2\,(P_{1}-P_{2})/\rho}{1-(A_{2}/A_{1})^{2}}} = A_{2}\sqrt{\frac{2\rho\,(P_{1}-P_{2})}{1-(A_{2}/A_{1})^{2}}}.
Explicação didática: esse resultado mostra que a vazão depende da diferença de pressão disponível para converter em velocidade e também da relação geométrica entre as áreas; se A_2 for muito menor que A_1 a velocidade aumenta e há maior vazão mássica.

Passo 4

Expressão em função dos diâmetros D_{1},D_{2}.
Recordando A_{i}=\dfrac{\pi D_{i}^{2}}{4}, temos
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{2}.
Substituindo em \dot{m} obtido no passo anterior:
\dot{m}_{\text{isotérmico}} = A_{2}\sqrt{\frac{2\rho\,(P_{1}-P_{2})}{1-\left(\dfrac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{4}}} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4}\,\sqrt{\frac{2\rho\,(P_{1}-P_{2})}{1-\left(\dfrac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{4}}}.é
Observação prática: esta fórmula requer P_{1}>P_{2} (pressão de entrada maior que a de saída); além disso assume escoamento ideal sem perdas dissipativas (ou seja, toda queda de pressão é convertida em energia cinética).

Passo 5

Derivação incluindo variação de temperatura (caso adiabático com aquecimento por atrito).
Agora usamos a forma geral da variação de entalpia:
h_{2}-h_{1}=C\,(T_{2}-T_{1})+\frac{P_{2}-P_{1}}{\rho}.
Então
h_{1}-h_{2}=\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho}-C\,(T_{2}-T_{1}).
Substituindo na equação de energia:
V_{2}^{2}-V_{1}^{2}=2\left(\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho}-C\,(T_{2}-T_{1})\right).
Repetindo os mesmos passos de antes (usar V_{1}=(A_{2}/A_{1})V_{2} e isolar V_{2}) obtemos
V_{2}^{2}=\frac{2\left(\dfrac{P_{1}-P_{2}}{\rho}-C\,(T_{2}-T_{1})\right)}{1-(A_{2}/A_{1})^{2}}.
Portanto
\dot{m}_{\text{adiabático}} = \rho A_{2}\sqrt{\frac{2\left(\dfrac{P_{1}-P_{2}}{\rho}-C\,(T_{2}-T_{1})\right)}{1-(A_{2}/A_{1})^{2}}}.á
Simplificando a expressão (multiplicando o numerador dentro da raiz por \rho):
\dot{m}_{\text{adiabático}} = A_{2}\sqrt{\frac{2\left((P_{1}-P_{2})-\rho C\,(T_{2}-T_{1})\right)}{1-(A_{2}/A_{1})^{2}}} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4}\sqrt{\frac{2\left((P_{1}-P_{2})-\rho C\,(T_{2}-T_{1})\right)}{1-\left(\dfrac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{4}}}.á
Explicação didática: o termo \rho C\,(T_{2}-T_{1}) tem unidades de pressão (J/m^3 = Pa) e representa a parte da energia convertida em calor interno (aumento de entalpia) por fricção. Esse aumento de entalpia reduz a energia disponível para acelerar o fluido, diminuindo a velocidade de saída e, portanto, \dot{m}.

Passo 6

Interpretação física e resposta à parte (b): efeito da variação de temperatura.
  • Comparando as duas fórmulas, a expressão adiabática pode ser obtida da isotérmica substituindo (P_{1}-P_{2}) por (P_{1}-P_{2})-\rho C\,(T_{2}-T_{1}).
  • Como normalmente T_{2}-T_{1}>0 quando há atrito (o fluido aquece), o termo \rho C\,(T_{2}-T_{1}) é positivo e, portanto, reduz o numerador sob a raiz. Consequência: para a mesma diferença de pressão (P_{1}-P_{2}), a vazão mássica real será menor quando houver aquecimento interno (ou dissipação), ou seja, \dot{m}_{\text{adiabático}}<\dot{m}_{\text{isotérmico}}áé.
  • Se a dissipação for muito grande, pode ocorrer que (P_{1}-P_{2})-\rho C\,(T_{2}-T_{1})\le 0, o que indica que a hipótese usada (converter pressão em velocidade) não fornece fluxo positivo — fisicamente significando que não há energia suficiente para acelerar o fluido até uma velocidade real sob as hipóteses usadas.
Encerrando com uma observação prática: nas mangueiras domésticas a dissipação por atrito existe, mas muitas vezes é pequena comparada à queda de pressão disponível; ainda assim a correção diminui a vazão e deve ser considerada para cálculos precisos.

Resposta

(a) \displaystyle \dot{m}_{\text{isotérmico}} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4}\,\sqrt{\frac{2\rho\,(P_{1}-P_{2})}{1-\left(\dfrac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{4}}}.é\n \displaystyle \dot{m}_{\text{adiabático}} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4}\,\sqrt{\frac{2\left((P_{1}-P_{2})-\rho C\,(T_{2}-T_{1})\right)}{1-\left(\dfrac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{4}}}.á
(b) A inclusão da variação de temperatura reduz a vazão mássica: o termo \rho C\,(T_{2}-T_{1})>0 diminui a energia disponível para acelerar o fluido, logo \dot{m}_{\text{adiabático}}<\dot{m}_{\text{isotérmico}}áé (e se a dissipação for muito grande pode até anular o fluxo previsto pela fórmula).

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