Etileno entra em uma turbina a 10 bar e 450 K , e sai a 1(\mathrm{~atm}) e 325 K . Para \dot{m}=4,5 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1}, determine o custo C da turbina. Cite qualquer consideração que você faça.
Dados: \quad H_{1}=761,1 \quad H_{2}=536,9 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \quad C / \=(15.200)(|\dot{W}| / \mathrm{kW})^{0,573}$

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: determinar o custo C da turbina, usando a expressão fornecida para C em função da potência.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão mássica \dot{m} = 4,5\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
    • Entalpias (fornecidas): H_1 = 761,1\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}} (entrada) e H_2 = 536,9\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}} (saída).
    • Fórmula do custo: C/\$ = (15.200)\left(\dfrac{|\dot{W}|}{\mathrm{kW}}\right)^{0,573}.
  • Observação pedida no enunciado: “Cite qualquer consideração que você faça.” As considerações serão explicitadas nos próximos passos.

Passo 2

Entender como obter a potência útil da turbina a partir dos dados (princípio de energia para escoamento estacionário).
  • Em uma turbina em regime permanente, a potência (taxa de trabalho) extraída pelo fluido é obtida, em primeira aproximação, pela diminuição da entalpia por unidade de massa multiplicada pela vazão mássica, desde que se possam desprezar trocas de calor com o ambiente e as variações de energia cinética e potencial: \dot{W} \approx \dot{m}\,(h_1 - h_2).Explicando: h é a entalpia específica do fluido (energia por unidade de massa associada à energia interna mais o trabalho de fluxo), \dot{m} é a vazão mássica, e \dot{W} é a potência (kJ/s = kW). Se h_1>h_2, o fluido cede energia e a turbina gera trabalho positivo.
  • Considerações/assunções que estou fazendo (explicitando, como solicitado):
    1. Regime estacionário (propriedades não variam com o tempo).
    2. Processo adiabático ou, em todo caso, calor desprezível em comparação com a variação de entalpia (típico ao estimar potência da turbina).
    3. Variações de energia cinética e potencial são desprezíveis.
    4. As entalpias fornecidas H_1 e H_2 são as entalpias específicas h_1 e h_2 em \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
      Essas suposições são padrão para um cálculo de potência aproximado para turbinas em problemas de engenharia introdutórios.

Passo 3

Calcular a queda de entalpia específica e interpretar unidades.
  • Diferença de entalpia por unidade de massa: \Delta h = h_1 - h_2 = 761{,}1 - 536{,}9 = 224{,}2\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.Explicando unidades: \mathrm{kJ\,kg^{-1}} multiplicado por \mathrm{kg\,s^{-1}} \mathrm{kJ\,s^{-1}}=\mathrm{kW}. Logo a fórmula dará a potência diretamente em kW.

Passo 4

Calcular a potência elétrica/mecânica produzida pela turbina (valor absoluto).
  • Aplicando \dot{W} = \dot{m}\,\Delta h: \dot{W} = 4{,}5\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\times 224{,}2\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}} = 1008{,}9\\ \mathrm{kJ\,s^{-1}} = 1008{,}9\\ \mathrm{kW}.
  • Interpretação: a turbina entrega cerca de 1008{,}9\\ \mathrm{kW} de potência. No uso da fórmula do custo usa-se o valor absoluto |\dot{W}|; aqui é positivo porque a turbina gera trabalho.

Passo 5

Calcular o custo C usando a fórmula dada, mostrando o passo de substituição e a avaliação numérica.
  • Fórmula: C = 15.200\left(\dfrac{|\dot{W}|}{\mathrm{kW}}\right)^{0,573}.
  • Substituindo |\dot{W}| = 1008{,}9\\ \mathrm{kW}: C = 15.200\,(1008{,}9)^{0,573}.
  • Avaliação numérica (passos explicados):
    • Primeiro calcular (1008{,}9)^{0,573}. Tomando logaritmo natural para entender o processo: \ln(1008{,}9)\approx 6{,}9166, multiplicando por 0{,}573 \approx 3{,}9632; exponenciando resulta aproximadamente 52{,}63.
    • Então C \approx 15.200 \times 52{,}63 \approx 800{.}000\\ \text{\$}.
    • Resultado arredondado para valores práticos: C \approx \$800{.}000.

Resposta

$800{.}000

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