O aquecimento de uma casa para elevar a sua temperatura deve ser modelado como um sistema aberto, porque a expansão do ar contido na casa, a pressão constante, resulta no seu vazamento para o exterior. Considerando que as propriedades molares do ar deixando a casa são as mesmas daquelas do ar dentro da casa, mostre que os balanços de mol e de energia fornecem a seguinte equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, a partir dos balanços de mol e de energia para um sistema aberto (a casa), que vale a seguinte equação diferencial:
Informações e condições fornecidas pelo enunciado:
- Há vazamento do ar para o exterior devido à expansão a pressão constante
. - As propriedades molares (por exemplo, energia interna molar e entalpia molar) do ar que sai são iguais às do ar dentro da casa.
- Deve-se usar balanço molar (massa molar) e balanço de energia para obter a expressão acima.
Não foi fornecida imagem; todas as quantidades serão tratadas simbolicamente.
Passo 2
Definições e hipóteses claras (muito importantes para não nos perder):
-
= número de mols de ar dentro da casa (função do tempo). -
= energia interna molar do ar dentro da casa (energia interna por mol). Portanto a energia interna total do ar dentro da casa é . -
= volume molar do ar (volume por mol). Aqui usamos como volume molar (às vezes denotado ). Assim o volume total da casa é . Observação: se preferir pensar no volume total, pode-se usar . -
= pressão externa/da casa, constante (dado). - Consideramos desprezíveis as energias cinética e potencial e não há trabalho de eixo; o único trabalho associado ao escoamento aparece via entalpia (fluxo mais trabalho de fluxo).
- Como o ar que sai tem as mesmas propriedades molares do ar dentro da casa, a entalpia molar do fluido que sai é a mesma entalpia molar dentro do sistema.
Vou justificar cada hipótese quando for usada.
Passo 3
Balanço molar (molar mass balance) simples:
- Seja
a taxa de mols saindo da casa (positiva quando há saída). - Não há entrada de ar (aquecimento faz o ar sair), então a variação do número de mols dentro da casa é
Isto é,
. (Se
significa que há saída; a igualdade acima é apenas a expressão do balanço molar.)
Passo 4
Balanço de energia para volume de controle (primeira lei para sistema aberto, forma em termos molares):
- Energia entrando por calor por unidade de tempo:
. - Energia saindo com o fluxo de massa (por mol) é a entalpia molar
multiplicada pela taxa de mols que saem . Como não há entrada, só subtraímos o termo de saída. - Variação da energia interna total no volume de controle:
.
Escrevendo o balanço (desprezando ke/pe e trabalho de eixo):
Explicação dos termos:
-
é a entalpia molar do ar dentro da casa (e, por hipótese, da corrente que sai). -
é a taxa de variação temporal da energia interna total do ar dentro da casa.
Passo 5
Substituir
no balanço de energia:
Isto é
Agora expandimos o lado direito usando regra do produto:
Substituindo:
Reorganizando para isolar
:
Passo 6
Lembrando a definição de entalpia molar:
onde
é a energia interna molar (aqui
) e
é o volume molar (aqui
). Portanto
Substituindo isso na equação do Passo 5:
Reordenando os termos para coincidir com o formato pedido, obtemos exatamente