O aquecimento de uma casa para elevar a sua temperatura deve ser modelado como um sistema aberto, porque a expansão do ar contido na casa, a pressão constante, resulta no seu vazamento para o exterior. Considerando que as propriedades molares do ar deixando a casa são as mesmas daquelas do ar dentro da casa, mostre que os balanços de mol e de energia fornecem a seguinte equação diferencial:
\dot{Q}=-P V \frac{d n}{d t}+n \frac{d U}{d t}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir dos balanços de mol e de energia para um sistema aberto (a casa), que vale a seguinte equação diferencial:
\dot{Q}=-P V \frac{d n}{d t}+n \frac{d U}{d t}.
Informações e condições fornecidas pelo enunciado:
  • Há vazamento do ar para o exterior devido à expansão a pressão constante P.
  • As propriedades molares (por exemplo, energia interna molar e entalpia molar) do ar que sai são iguais às do ar dentro da casa.
  • Deve-se usar balanço molar (massa molar) e balanço de energia para obter a expressão acima.
    Não foi fornecida imagem; todas as quantidades serão tratadas simbolicamente.

Passo 2

Definições e hipóteses claras (muito importantes para não nos perder):
  • n(t) = número de mols de ar dentro da casa (função do tempo).
  • U(t) = energia interna molar do ar dentro da casa (energia interna por mol). Portanto a energia interna total do ar dentro da casa é n(t)\,U(t).
  • V = volume molar do ar (volume por mol). Aqui usamos V como volume molar (às vezes denotado \bar{v}). Assim o volume total da casa é n\,V. Observação: se preferir pensar no volume total, pode-se usar V_{\text{tot}}=nV.
  • P = pressão externa/da casa, constante (dado).
  • Consideramos desprezíveis as energias cinética e potencial e não há trabalho de eixo; o único trabalho associado ao escoamento aparece via entalpia (fluxo mais trabalho de fluxo).
  • Como o ar que sai tem as mesmas propriedades molares do ar dentro da casa, a entalpia molar do fluido que sai é a mesma entalpia molar dentro do sistema.
Vou justificar cada hipótese quando for usada.

Passo 3

Balanço molar (molar mass balance) simples:
  • Seja \dot{n}_{\text{out}} a taxa de mols saindo da casa (positiva quando há saída).
  • Não há entrada de ar (aquecimento faz o ar sair), então a variação do número de mols dentro da casa é
\frac{d n}{d t}= -\dot{n}_{\text{out}}.
Isto é, \dot{n}_{\text{out}}=-\dfrac{d n}{d t}. (Se dn/dt<0 significa que há saída; a igualdade acima é apenas a expressão do balanço molar.)

Passo 4

Balanço de energia para volume de controle (primeira lei para sistema aberto, forma em termos molares):
  • Energia entrando por calor por unidade de tempo: \dot{Q}.
  • Energia saindo com o fluxo de massa (por mol) é a entalpia molar \bar{h} multiplicada pela taxa de mols que saem \dot{n}_{\text{out}}. Como não há entrada, só subtraímos o termo de saída.
  • Variação da energia interna total no volume de controle: \dfrac{d}{dt}\big(n U\big).
Escrevendo o balanço (desprezando ke/pe e trabalho de eixo):
\dot{Q}-\dot{n}_{\text{out}}\,\bar{h}=\frac{d}{d t}\big(n U\big).
Explicação dos termos:
  • \bar{h} é a entalpia molar do ar dentro da casa (e, por hipótese, da corrente que sai).
  • \frac{d}{dt}(nU) é a taxa de variação temporal da energia interna total do ar dentro da casa.

Passo 5

Substituir \dot{n}_{\text{out}}=-\dfrac{d n}{d t} no balanço de energia:
\dot{Q}-\Big(-\frac{d n}{d t}\Big)\bar{h}=\frac{d}{d t}\big(n U\big).
Isto é
\dot{Q}+\bar{h}\,\frac{d n}{d t}=\frac{d}{d t}\big(n U\big).
Agora expandimos o lado direito usando regra do produto:
\frac{d}{d t}\big(n U\big)=n\frac{d U}{d t}+U\frac{d n}{d t}.
Substituindo:
\dot{Q}+\bar{h}\,\frac{d n}{d t}=n\frac{d U}{d t}+U\frac{d n}{d t}.
Reorganizando para isolar \dot{Q}:
\dot{Q}=n\frac{d U}{d t}+U\frac{d n}{d t}-\bar{h}\,\frac{d n}{d t} = n\frac{d U}{d t} -(\bar{h}-U)\frac{d n}{d t}.

Passo 6

Lembrando a definição de entalpia molar:
\bar{h}=\bar{u}+P\bar{v},
onde \bar{u} é a energia interna molar (aqui \bar{u}=U) e \bar{v} é o volume molar (aqui \bar{v}=V). Portanto
\bar{h}-U=P V.
Substituindo isso na equação do Passo 5:
\dot{Q}=n\frac{d U}{d t} - P V \frac{d n}{d t}.
Reordenando os termos para coincidir com o formato pedido, obtemos exatamente
\dot{Q}=-P V \frac{d n}{d t}+n \frac{d U}{d t}.

Resposta

\dot{Q}=-P V \frac{d n}{d t}+n \frac{d U}{d t}.

Exercícios relacionados