A água é o fluido de trabalho em um ciclo de potência a vapor de Carnot. O líquido saturado entra na caldeira a 16 MPa , e vapor saturado entra na turbina. A pressão no condensador é 8 kPa . A vazão mássica de vapor que entra na turbina é de 120 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Determine
(a) a eficiência térmica.
(b) a relação entre o trabalho de entrada na bomba e o trabalho desenvolvido pela turbina - bwr.
(c) a potência líquida produzida, em kW .
(d) a taxa de transferência de calor do fluido de trabalho que passa pelo condensador, em kW .

Passo 1

O enunciado (resumindo, em minhas palavras) pede que, para um ciclo de potência de Carnot com água como fluido de trabalho, onde:
  • a caldeira opera à pressão p_H = 16\\ \mathrm{MPa} e o fluido entra nela como líquido saturado e sai como vapor saturado;
  • o condensador opera à pressão p_L = 8\\ \mathrm{kPa};
  • a vazão mássica que entra na turbina é \dot m = 120\\ \mathrm{kg/s};
determine:
(a) a eficiência térmica do ciclo (número adimensional);
(b) a razão entre o trabalho de entrada na bomba e o trabalho desenvolvido pela turbina (bwr), ou seja \dfrac{w_{\text{bomba}}}{w_{\text{turbina}}};
(c) a potência líquida produzida, em \mathrm{kW};
(d) a taxa de transferência de calor rejeitada no condensador, em \mathrm{kW}.
Informações relevantes dadas:
  • p_H = 16\\ \mathrm{MPa}.
  • p_L = 8\\ \mathrm{kPa}.
  • \dot m = 120\\ \mathrm{kg/s}.
  • O ciclo é de Carnot (portanto reversível entre as duas isotermas), o que implica relações térmicas simples envolvendo as temperaturas das isotermas.
Observação: para obter valores numéricos de entalpias e volumes específicos saturados e temperaturas de saturação, vou usar valores de propriedades termodinâmicas da água (tabelas de vapor saturado). Abaixo eu indico explicitamente os valores tomados das tabelas e, a partir deles, calculo todos os itens pedindo passo a passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vou usar (explicadas de forma didática)
  1. Eficiência térmica de um ciclo de Carnot:
\eta = 1 - \dfrac{T_L}{T_H},
onde \,T_H é a temperatura absoluta (Kelvin) da isoterma quente (caldeira) e \,T_L é a temperatura absoluta (Kelvin) da isoterma fria (condensador). Aqui as isotermas coincidem com as temperaturas de saturação nas respectivas pressões.
  1. Relação calor-entalpia em processos isotermais de mudança de fase:
  • O calor absorvido na caldeira (por unidade de massa) ao vaporizar líquido saturado a T_H é
q_{\text{in}} = h_g(T_H) - h_f(T_H),
onde h_g é a entalpia do vapor saturado e h_f a entalpia do líquido saturado, ambos à pressão p_H.
  • O calor rejeitado no condensador (por unidade de massa) ao condensar do vapor que entra no condensador até líquido saturado a T_L é
q_{\text{out}} = h_{\text{in,cond}} - h_f(T_L),
onde h_{\text{in,cond}} é a entalpia do vapor que entra no condensador (no ciclo de Carnot é o estado obtido após a expansão adiabatica reversível até T_L). Entretanto, para o ciclo de Carnot reversível vale a relação de Clausius entre as isotermas:
\frac{q_{\text{in}}}{T_H}=\frac{q_{\text{out}}}{T_L}.
Isso simplifica bastante os cálculos, porque dá q_{\text{out}} = q_{\text{in}}\cdot \dfrac{T_L}{T_H} e o trabalho líquido por unidade de massa é
w_{\text{net}} = q_{\text{in}} - q_{\text{out}} = q_{\text{in}}\left(1-\dfrac{T_L}{T_H}\right) = q_{\text{in}}\eta.
  1. Trabalho da bomba (bomba que comprime o líquido saturado do condensador até a pressão da caldeira). Para líquidos quase incompressíveis, a expressão aproximada e frequentemente usada (e suficiente para provas) é
w_{\text{bomba}} \approx v_f\,(p_H - p_L),
onde v_f é o volume específico do líquido saturado (em \mathrm{m^3/kg}) em condição de entrada da bomba (normalmente usa-se o valor do líquido saturado à pressão de entrada da bomba, aqui p_L) e p em \mathrm{Pa}. Essa expressão vem da integração de dh=v\,dp para um líquido com v quase constante e do fato de que, para líquido, a variação de entalpia associada à compressão é pequena e bem aproximada por v\Delta p.
  1. Trabalho da turbina por unidade de massa:
w_{\text{turbina}} = q_{\text{in}} - w_{\text{bomba}} - q_{\text{out}}_{\\ \text{(mas\\ usamos a relação de Carnot)}},
ou mais simplesmente, visto que w_{\text{net}} = w_{\text{turbina}} - w_{\text{bomba}},
w_{\text{turbina}} = w_{\text{net}} + w_{\text{bomba}} = q_{\text{in}}\eta + w_{\text{bomba}}.
  1. Potências em kW a partir das quantidades por unidade de massa:
\dot W_{\text{líquida}} = \dot m\,w_{\text{net}},\qquad \dot Q_{\text{cond}} = \dot m\,q_{\text{out}},í
tomando w e q em \mathrm{kJ/kg} e \dot m em \mathrm{kg/s} resulta diretamente em \mathrm{kW}.

Passo 3

Peguei os valores das propriedades da água nas condições de saturação (tabelas de vapor saturado). Esses são os valores usados nos cálculos numéricos a seguir (valores indicados com 3 casas significativas, unidades mostradas; estes valores devem ser lidos em uma tabela de vapor saturado padrão):
  • À pressão p_H = 16\\ \mathrm{MPa} (saturado):
    • temperatura de saturação: T_H = 342{,}0^\circ\mathrm{C} = 615{,}15\\ \mathrm{K}. (valor retirado da tabela)
    • entalpia do líquido saturado: h_f(T_H)=1206{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • entalpia do vapor saturado: h_g(T_H)=2792{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • daí o calor de vaporização: q_{\text{in}} = h_g(T_H)-h_f(T_H)=1586{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • volume específico do líquido saturado (usado para o cálculo da bomba): v_f(T_H) é muito próximo de v_f(T_L); vou usar v_f = 0{,}001008\\ \mathrm{m^3/kg} (valor típico para líquido saturado em baixas pressões; leitura na tabela à pressão de entrada da bomba).
  • À pressão p_L = 8\\ \mathrm{kPa} (saturado):
    • temperatura de saturação: T_L = 41{,}46^\circ\mathrm{C} = 314{,}61\\ \mathrm{K}. (valor retirado da tabela)
    • entalpia do líquido saturado: h_f(T_L)=173{,}88\\ \mathrm{kJ/kg}. (usado se fosse necessário)
    • entalpia do vapor saturado: h_g(T_L)=2583{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}. (informação de referência)
Observação sobre a escolha de v_f: a bomba comprime o líquido que sai do condensador (então seria ideal usar v_f à condição de entrada da bomba, i.e. saturado a p_L). Aqui usei v_f=0{,}001008\\ \mathrm{m^3/kg} (valor típico para água líquida saturada ao redor dessa pressão). Esse valor aparece nas tabelas e a aproximação é válida porque o líquido é quase incompressível.
Agora calculo os termos numéricos usando esses valores de tabela.

Passo 4

Cálculo da eficiência térmica \eta
  • Converter temperaturas para Kelvin (já indiquei acima):
    T_H = 615{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_L = 314{,}61\\ \mathrm{K}.
  • Aplicar a fórmula de Carnot:
    \eta = 1 - \dfrac{T_L}{T_H} = 1 - \dfrac{314{,}61}{615{,}15}.
    Calculemos:
    \dfrac{314{,}61}{615{,}15} \approx 0{,}5114,
    então
    \eta \approx 1 - 0{,}5114 = 0{,}4886 \quad\text{(ou)}\quad 48{,}86\%.

Passo 5

Cálculo do trabalho por unidade de massa feito pela bomba w_{\text{bomba}}
Usando a aproximação para líquido quase incompressível:
w_{\text{bomba}} \approx v_f\,(p_H - p_L).
Converter pressões para Pascal:
p_H = 16\\ \mathrm{MPa} = 16\,000\,000\\ \mathrm{Pa},\qquad p_L = 8\\ \mathrm{kPa} = 8\,000\\ \mathrm{Pa}.
Diferença:
\Delta p = p_H - p_L = 15\,992\,000\\ \mathrm{Pa}.
Usando v_f = 0{,}001008\\ \mathrm{m^3/kg}:
w_{\text{bomba}} \approx 0{,}001008 \times 15\,992\,000 \\ \mathrm{J/kg} = 16\,136\\ \mathrm{J/kg} = 16{,}136\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Comentário didático: esse valor é bem pequeno comparado aos \sim 10^3\\ \mathrm{kJ/kg} típicos de trabalho de turbina, portanto a aproximação de líquido incompressível é adequada e mostra porque a bomba consome pouco trabalho relativo ao que a turbina produz.)

Passo 6

Cálculo do trabalho líquido por unidade de massa w_{\text{net}} e do trabalho da turbina w_{\text{turbina}}
  • Já temos q_{\text{in}} = 1586{,}3\\ \mathrm{kJ/kg} e \eta = 0{,}4886.
Logo
w_{\text{net}} = q_{\text{in}} \,\eta = 1586{,}3\times 0{,}4886 \\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcule:
w_{\text{net}} \approx 774{,}98\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • O trabalho da turbina por unidade de massa satisfaz
w_{\text{turbina}} = w_{\text{net}} + w_{\text{bomba}}
pois w_{\text{net}} = w_{\text{turbina}} - w_{\text{bomba}}. Então
w_{\text{turbina}} \approx 774{,}98 + 16{,}136 = 791{,}12\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Cálculo da razão bwr =\dfrac{w_{\text{bomba}}}{w_{\text{turbina}}}
\text{bwr} = \dfrac{16{,}136}{791{,}12} \approx 0{,}0204.
Ou seja, cerca de 2{,}04\%. (Interpretação: o trabalho consumido pela bomba é apenas ~2% do trabalho produzido pela turbina — típico em ciclos a vapor.)

Passo 8

Cálculo da potência líquida produzida \dot W_{\text{líquida}}í (item (c))
Usando \dot m = 120\\ \mathrm{kg/s} e w_{\text{net}} = 774{,}98\\ \mathrm{kJ/kg}:
\dot W_{\text{líquida}} = \dot m \, w_{\text{net}} = 120 \times 774{,}98\\ \mathrm{kJ/s} = 92\,997{,}6\\ \mathrm{kW}.í
Arredondando, \dot W_{\text{líquida}} \approx 92\,998\\ \mathrm{kW}í (aprox. 93{,}0\\ \mathrm{MW}).

Passo 9

Cálculo da taxa de transferência de calor rejeitada no condensador \dot Q_{\text{cond}} (item (d))
Podemos usar q_{\text{out}} = q_{\text{in}} \dfrac{T_L}{T_H} (relação de Clausius) ou simplesmente
q_{\text{out}} = q_{\text{in}} - w_{\text{net}}.
Vou usar a segunda forma (mesmo resultado):
q_{\text{out}} = 1586{,}3 - 774{,}98 = 811{,}32\\ \mathrm{kJ/kg}.
Então a taxa de calor rejeitado é
\dot Q_{\text{cond}} = \dot m\, q_{\text{out}} = 120 \times 811{,}32 = 97\,358{,}4\\ \mathrm{kW}.
(Verificação energética: a potência térmica fornecida pela caldeira seria \dot Q_{\text{in}} = \dot m q_{\text{in}} = 120\times 1586{,}3 \approx 190\,356\\ \mathrm{kW}. A diferença \dot Q_{\text{in}} - \dot Q_{\text{cond}} \approx 92\,998\\ \mathrm{kW}, que é a potência líquida calculada, conferindo a consistência.)

Resposta

(a) \eta \approx 0{,}4886 (ou 48{,}86\%).
(b) \dfrac{w_{\text{bomba}}}{w_{\text{turbina}}} \approx 0{,}0204.
(c) \dot W_{\text{líquida}} \approx 92\,998\\ \mathrm{kW}í.
(d) \dot Q_{\text{cond}} \approx 97\,358\\ \mathrm{kW}.

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