Água saindo do condensador de uma usina termelétrica a 38^{\circ} \mathrm{C} entra em uma torre de resfriamento a uma vazão de 4,5.10^{\wedge} 7 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Um fluxo de agua resfriada retorna ao condensador a partir da torre de resfriamento a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C} e com a mesma vazão de entrada. A água de reposição é adicionada separadamente a 20^{\circ} \mathrm{C}. O ar atmosférico (úmido) é admitido na torre a 25^{\circ} \mathrm{C} e com 35% de umidade relativa. Ar úmido sai da torre a 35^{\circ} \mathrm{C} e com 90 \% de umidade relativa. Determine:
vazão mássica de água de reposição
R.: 5,24.10^{\wedge} 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}

Passo 1

O que o enunciado dá (valores que vou usar; peguei todos do enunciado):
  • Vazão de água que entra na torre (vinda do condensador): \dot m_w = 4{,}5\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg/h}.
  • Temperatura da água que entra na torre: T_{w,\text{in}}=38^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água que sai da torre (retorna ao condensador): T_{w,\text{out}}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Água de reposição (make-up) é adicionada separadamente a T_{\text{rep}}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Ar de entrada na torre: T_{a,\text{in}}=25^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \phi_{\text{in}}=35\%.
  • Ar de saída da torre: T_{a,\text{out}}=35^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \phi_{\text{out}}=90\%.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a vazão mássica de água de reposição (make-up), isto é, a massa de água necessária por hora para repor a água que se perde por evaporação na torre.
Assumptions (explicito para não deixar dúvidas):
  • Operação em regime estacionário.
  • Não há perdas por deriva nem descarga de purga (blowdown) — portanto a água de reposição compensa essencialmente a evaporação.
  • Pressão atmosférica padrão: p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Propriedades usadas (valores típicos):
    • Calor específico da água líquido: c_{p,w}=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Fórmula prática da entalpia do ar úmido por kg de ar seco (kJ/kg ar seco): h = c_{pa}\,T + w\,(2501 + c_{pw}\,T),com c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (ar seco) e c_{pw}\approx1{,}88\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (água vapor).
  • Vou usar a equação de equilíbrio energia: o calor retirado da água pela torre é absorvido pelo ar (sensible + latent), e usar balanço de massa de vapor no ar para obter a água evaporada; a vazão de reposição é igual à massa evaporada por hora.

Passo 2

Como calcular a razão de mistura (humidade absoluta) w do ar úmido.
Explicação didática curta:
  • A razão de mistura w (ou razão de massa de vapor) é a massa de vapor de água por unidade de massa de ar seco, em \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}. Para ar úmido em pressão total p e pressão parcial de vapor p_v: w = 0{,}622\;\frac{p_v}{p - p_v},onde p é a pressão total (aqui p_{atm}) e p_v é a pressão parcial de vapor no ar (em kPa).
  • A pressão parcial de vapor p_v obtém-se a partir da saturação a uma T: p_v=\varphi\;p_{sat}(T), onde p_{sat}(T) é a pressão de saturação do vapor à temperatura T e \varphi é a umidade relativa (fração).
Vou calcular p_{sat}(T) pela equação de Magnus (fórmula prática):
p_{sat}(T) = 0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\\ \text{(kPa)},
com T em ^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular p_{sat}, p_v e w para ar de entrada e saída.
Para o ar de entrada ( T_{a,\text{in}}=25^\circ\mathrm{C}, \phi_{\text{in}}=0{,}35):
p_{sat}(25)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot25}{25+237{,}3}\right)=0{,}61078\exp(1{,}647)\approx 3{,}17\\ \mathrm{kPa}.
p_{v,\text{in}}=\phi_{\text{in}}\,p_{sat}(25)=0{,}35\cdot3{,}17\approx1{,}11\\ \mathrm{kPa}.
w_{\text{in}}=0{,}622\;\frac{1{,}11}{101{,}325-1{,}11}\approx 0{,}006886\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
Para o ar de saída ( T_{a,\text{out}}=35^\circ\mathrm{C}, \phi_{\text{out}}=0{,}90):
p_{sat}(35)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot35}{35+237{,}3}\right)=0{,}61078\exp(2{,}221)\approx5{,}64\\ \mathrm{kPa}.
p_{v,\text{out}}=\phi_{\text{out}}\,p_{sat}(35)=0{,}90\cdot5{,}64\approx5{,}08\\ \mathrm{kPa}.
w_{\text{out}}=0{,}622\;\frac{5{,}08}{101{,}325-5{,}08}\approx 0{,}03277\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
Diferença de razão de mistura (quantidade de vapor captada por kg de ar seco):
\Delta w = w_{\text{out}}-w_{\text{in}}\approx 0{,}03277-0{,}006886 = 0{,}025884\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 4

Energia associada ao ar úmido: entalpia específica por kg de ar seco.
Explicação didática:
  • A entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco é a soma da entalpia do ar seco mais a entalpia do vapor presente: h(T,w)=c_{pa}\,T + w\,(2501 + c_{pw}\,T),onde T está em ^\circ\mathrm{C}, h em \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}. O termo 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é a energia aproximada de vaporização (referência 0°C) e os termos com T somam as partes sensíveis.
Calcular h_{\text{in}} e h_{\text{out}}:
Para entrada ( T=25^\circ\mathrm{C}, w_{\text{in}}=0{,}006886):
h_{\text{in}}=1{,}005\cdot25 + 0{,}006886\bigl(2501 + 1{,}88\cdot25\bigr).
Faço as contas:
1{,}005\cdot25 = 25{,}125,
2501 + 1{,}88\cdot25 = 2501 + 47 = 2548,
0{,}006886\cdot2548 \approx 17{,}54,
h_{\text{in}}\approx 25{,}125 + 17{,}54 = 42{,}665\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
Para saída ( T=35^\circ\mathrm{C}, w_{\text{out}}=0{,}03277):
h_{\text{out}}=1{,}005\cdot35 + 0{,}03277\bigl(2501 + 1{,}88\cdot35\bigr).
Calcular:
1{,}005\cdot35 = 35{,}175,
2501 + 1{,}88\cdot35 = 2501 + 65{,}8 = 2566{,}8,
0{,}03277\cdot2566{,}8 \approx 84{,}12,
h_{\text{out}}\approx 35{,}175 + 84{,}12 = 119{,}295\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
Variação de entalpia do ar por kg de ar seco:
\Delta h = h_{\text{out}}-h_{\text{in}} \approx 119{,}295 - 42{,}665 = 76{,}63\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.

Passo 5

Balanço de energia água \leftrightarrow ar e determinação da vazão de ar seco.
Explicação:
  • O calor removido da água que flui pela torre é: \dot Q = \dot m_w\;c_{p,w}\;(T_{w,\text{in}}-T_{w,\text{out}}).
  • Esse calor é absorvido pelo ar úmido que entra e sai: \dot Q = \dot m_{da}\;\Delta h,onde \dot m_{da} é a vazão mássica do ar seco (kg ar seco/h).
Calcular \dot Q:
\dot Q = 4{,}5\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg/h}\;\cdot 4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\;\cdot (38-30)\\ \mathrm{K}.
\dot Q = 4{,}5\cdot10^{7}\cdot 4{,}186\cdot 8 \approx 1{,}50796\cdot10^{9}\\ \mathrm{kJ/h}.
Logo, a vazão mássica de ar seco:
\dot m_{da} = \frac{\dot Q}{\Delta h} = \frac{1{,}50796\cdot10^{9}}{76{,}63} \approx 1{,}968\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco/h}.

Passo 6

Determinar a massa de água evaporada por hora e concluir vazão de reposição.
Explicação:
  • A massa de vapor capturada pelo ar por hora é \dot m_{ev}=\dot m_{da}\,\Delta w (kg/h).
  • Assumindo que a água de reposição compensa essa evaporação (sem outras perdas), a vazão de reposição é igual à massa evaporada.
Calcular:
\dot m_{ev} = \dot m_{da}\,\Delta w \approx 1{,}968\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg/h}\;\cdot 0{,}025884\\ \mathrm{\frac{kg}{kg}}.
\dot m_{ev} \approx 5{,}09\cdot10^{5}\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto, a vazão mássica de água de reposição necessária é aproximadamente 5{,}09\cdot10^{5}\\ \mathrm{kg/h}. (Observação: valores numéricos finais dependem levemente das fórmulas e constantes de saturação/entalpia adotadas; o resultado obtido com as aproximações práticas acima fica muito próximo do valor de referência informado.)

Resposta

\dot m_{\text{reposição}}\approx 5{,}09\cdot10^{5}\\ \mathrm{kg/h}çã

Exercícios relacionados