Água saindo do condensador de uma usina termelétrica a 38^{\circ} \mathrm{C} entra em uma torre de resfriamento a uma vazão de 4,5.10^{\wedge} 7 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Um fluxo de agua resfriada retorna ao condensador a partir da torre de resfriamento a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C} e com a mesma vazão de entrada. A água de reposição é adicionada separadamente a 20^{\circ} \mathrm{C}. O ar atmosférico (úmido) é admitido na torre a 25^{\circ} \mathrm{C} e com 35% de umidade relativa. Ar úmido sai da torre a 35^{\circ} \mathrm{C} e com 90 \% de umidade relativa. Determine:
a vazão mássica de ar seco
R.: 2,008.10^{\wedge} 7 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, pegando todos os números do enunciado:
  • Vazão mássica de água que entra na torre (vind a do condensador): m_w = 4{,}5\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg/h}.
  • Temperatura da água que entra na torre: T_{w,in}=38^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água que sai da torre (e retorna ao condensador): T_{w,out}=30^\circ\mathrm{C}. Observação importantíssima: a vazão que sai para o condensador é a mesma que entrou, ou seja, o circuito principal tem a mesma vazão m_w.
  • Água de reposição (make-up) é adicionada separadamente com temperatura T_{m}=20^\circ\mathrm{C}. Em regime estacionário, a vazão de reposição é igual à vazão evaporada na torre; chamaremos essa vazão de m_{ev}.
  • Ar seco entra na torre à T_{a,in}=25^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \varphi_{in}=35\%.
  • Ar úmido sai da torre à T_{a,out}=35^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \varphi_{out}=90\%.
  • Pressão atmosférica assumida (padrão): p=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (valor usual).
  • O que se pede: determinar a vazão mássica de ar seco que entra na torre: m_{a} (em \mathrm{kg/h}).
Observações importantes (dados usados na resolução):
  • A massa de água evaporada por hora é igual à massa de reposição: m_{ev}=m_{m}.
  • A água que esfria do condensador (entrada 38°C) ao retorno (30°C) libera energia que é absorvida pelo ar (aquecendo-o sensivelmente) e que também é gasta na evaporação (calor latente). Além disso, como a reposição entra fria ( 20^\circ\mathrm{C}), parte da energia vai em aquecê-la para a temperatura do banho frio — isso aparece na conta de balanço de energia do controle de volume da torre.
    Não começo a resolver ainda; no próximo passo monto o modelo físico e as equações.

Passo 2

Conceitos / fórmulas que vou usar (explicadas de forma didática):
  1. Razão de mistura (humidity ratio) \omega — massa de vapor d’água por massa de ar seco. A fórmula é
\omega=\dfrac{0,622\,p_v}{p-p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor de água (em kPa) e p é a pressão total (em kPa). A constante 0{,}622 vem da razão das massas molares do vapor d’água e do ar seco.
  1. Para achar p_v a partir da umidade relativa \varphi e da pressão de saturação p_{vs}(T) usamos
p_v=\varphi\;p_{vs}(T),
onde \varphi é em fração (por ex. 0{,}35 para 35\%). Para p_{vs}(T) uso a fórmula de Tetens (prática e precisa o suficiente):
p_{vs}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa)},
com T em ^\circ\mathrm{C}.
  1. Entalpia específica do ar úmido por massa de ar seco:
h = c_{pa}T + \omega\bigl(h_{fg} + c_{pw}T\bigr),
onde
  • c_{pa} é o calor específico do ar (ar seco) ≈ 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
  • c_{pw} é o calor específico da água líquida ≈ 4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
  • h_{fg} é o calor latente de vaporização da água (em \mathrm{kJ/kg}); uma aproximação prática é
h_{fg}\approx 2501 - 2{,}361\,T\quad(\text{com }T\text{ em }^\circ\mathrm{C}),
ou usar um valor médio próximo de 2430\\ \mathrm{kJ/kg} para temperaturas em torno de 30^\circ\mathrm{C}.
  1. Balanço de massa de água (situação estacionária na torre):
  • massa evaporada para a atmosfera por unidade de tempo é a diferença de razão de mistura multiplicada pela vazão de ar seco:
m_{ev}=m_a\;(\omega_{out}-\omega_{in}).
  • além disso, o make-up m_m compensa a evaporação: m_m=m_{ev}.
  1. Balanço de energia global para a torre (controle que inclui água líquida e ar): entalpia total de entrada = entalpia total de saída.
    Ao aplicar isso para líquido + ar, e usando as expressões acima, chega-se (após organizar) à equação útil para determinar m_a:
m_a\bigl(h_{out}-h_{in}\bigr)=m_w c_{pw}\,(T_{w,in}-T_{w,out}) + m_m c_{pw} T_{m},
onde m_w é a vazão do circuito principal (vinda do condensador), T_{m} é a temperatura da água de reposição, e m_m=m_a(\omega_{out}-\omega_{in}). Essa forma resulta de escrever as entalpias absolutas das correntes líquidas (usando referência 0°C para simplificar) e das correntes de ar (por kg de ar seco). Vou desenvolver isso passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Calcular as pressões de saturação e as razões de mistura \omega_{in} e \omega_{out}.
  1. Pressão de saturação à 25^\circ\mathrm{C}:
p_{vs}(25)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot25}{25+237{,}3}\right)=0{,}61078\exp(1{,}6469)\approx3{,}169\\ \mathrm{kPa}.
Pressão parcial do vapor na entrada:
p_{v,in}=\varphi_{in}\,p_{vs}(25)=0{,}35\cdot3{,}169\approx1{,}109\\ \mathrm{kPa}.
Razão de mistura na entrada:
\omega_{in}=\dfrac{0{,}622\cdot1{,}109}{101{,}325-1{,}109}\approx\dfrac{0{,}689}{100{,}216}\approx0{,}00688\\ \mathrm{kg\;H_2O/kg_{da}}.
  1. Pressão de saturação à 35^\circ\mathrm{C}:
p_{vs}(35)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot35}{35+237{,}3}\right)=0{,}61078\exp(2{,}2198)\approx5{,}63\\ \mathrm{kPa}.
Pressão parcial do vapor na saída:
p_{v,out}=\varphi_{out}\,p_{vs}(35)=0{,}90\cdot5{,}63\approx5{,}067\\ \mathrm{kPa}.
Razão de mistura na saída:
\omega_{out}=\dfrac{0{,}622\cdot5{,}067}{101{,}325-5{,}067}\approx\dfrac{3{,}152}{96{,}258}\approx0{,}03276\\ \mathrm{kg\;H_2O/kg_{da}}.
  1. Diferença de razão de mistura:
\Delta\omega=\omega_{out}-\omega_{in}\approx0{,}03276-0{,}00688=0{,}02588\\ \mathrm{kg\;H_2O/kg_{da}}.
(Expliquei como extrair \omega a partir de T e \varphi. Esses \omega são essenciais porque a massa de água evaporada por hora é m_a\Delta\omega.)

Passo 4

Montar o balanço de energia detalhado e isolar m_a. Vou mostrar por que aparece o termo com a temperatura da água de reposição.
  • Entradas de energia (por hora):
    • Água quente que entra do condensador: m_w\cdot c_{pw}\cdot T_{w,in}.
    • Água de reposição (make-up): m_m\cdot c_{pw}\cdot T_{m}.
    • Ar úmido que entra: m_a\cdot h_{in}.
  • Saídas de energia (por hora):
    • Água que retorna ao condensador: m_w\cdot c_{pw}\cdot T_{w,out}.
    • Ar úmido que sai: m_a\cdot h_{out}.
    • (a massa evaporada já está contabilizada na entalpia do ar de saída via \omega_{out}).
Escrevendo entalpias e cancelando termos com referência 0°C:
m_w c_{pw}T_{w,in} + m_m c_{pw}T_{m} + m_a h_{in} = m_w c_{pw}T_{w,out} + m_a h_{out}.
Rearranjando:
m_a\bigl(h_{out}-h_{in}\bigr) = m_w c_{pw}\,(T_{w,in}-T_{w,out}) + m_m c_{pw}T_{m}.
Agora uso m_m=m_{ev}=m_a\Delta\omega. Substituo:
m_a\bigl(h_{out}-h_{in}\bigr) = m_w c_{pw}\,(T_{w,in}-T_{w,out}) + m_a\Delta\omega\,c_{pw}T_{m}.
Passo os termos com m_a para o mesmo lado e isolo m_a:
m_a\Bigl(h_{out}-h_{in} - \Delta\omega\,c_{pw}T_{m}\Bigr) = m_w c_{pw}\,(T_{w,in}-T_{w,out}).
Portanto
m_a = \dfrac{m_w c_{pw}\,(T_{w,in}-T_{w,out})}{\,h_{out}-h_{in} - \Delta\omega\,c_{pw}T_{m}\, }.
Esta é a expressão que vou usar. Agora preciso calcular h_{out}-h_{in} por unidade de massa de ar seco usando a fórmula do passo 2:
h_{out}-h_{in}=c_{pa}(T_{a,out}-T_{a,in}) + \Delta\omega\,h_{fg} + c_{pw}\bigl(\omega_{out}T_{a,out}-\omega_{in}T_{a,in}\bigr).
Expliquei: o primeiro termo é o aquecimento sensível do ar seco; o segundo termo é o efeito do vapor (calor latente); o terceiro é a variação de entalpia sensível do próprio vapor que acompanha o ar (pequeno, mas não desprezível).

Passo 5

Agora substituo números e calculo passo a passo (valores usados e unidades):
Constantes:
  • c_{pw}=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Tomarei h_{fg} aproximado a 2430\\ \mathrm{kJ/kg} (valor típico para evaporação em torno de 30^\circ\mathrm{C}).
Dados numéricos:
  • m_w=4{,}5\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg/h}.
  • T_{w,in}-T_{w,out}=38-30=8\\ \mathrm{K}.
  • T_m=20^\circ\mathrm{C}.
  • T_{a,out}-T_{a,in}=35-25=10\\ \mathrm{K}.
  • \Delta\omega\approx0{,}02588.
  • \omega_{out}T_{a,out}-\omega_{in}T_{a,in}=0{,}03276\cdot35 - 0{,}00688\cdot25 \approx1{,}1466-0{,}1720\approx0{,}9746.
Calculo do numerador (energia retirada da água quente por hora):
m_w c_{pw}(T_{w,in}-T_{w,out}) = 4{,}5\cdot10^{7}\cdot4{,}186\cdot8.
Faço a conta:
4{,}186\cdot8=33{,}488\quad\Rightarrow\quad 33{,}488\cdot4{,}5\cdot10^{7}=1{,}50696\cdot10^{9}\\ \mathrm{kJ/h}.
Calculo de h_{out}-h_{in}:
  • Sensível do ar: c_{pa}\Delta T = 1{,}005\cdot10=10{,}05\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
  • Latente: \Delta\omega\;h_{fg}=0{,}02588\cdot2430\approx62{,}9\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
  • Sensível do vapor: c_{pw}\bigl(\omega_{out}T_{out}-\omega_{in}T_{in}\bigr)=4{,}186\cdot0{,}9746\approx4{,}08\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
Somando:
h_{out}-h_{in}\approx10{,}05 + 62{,}9 + 4{,}08 \approx 77{,}03\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
Agora subtrai-se o termo \Delta\omega\,c_{pw}T_m do denominador:
\Delta\omega\,c_{pw}T_m = 0{,}02588\cdot4{,}186\cdot20 \approx2{,}17\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
Assim o denominador é
h_{out}-h_{in} - \Delta\omega\,c_{pw}T_m \approx 77{,}03 - 2{,}17 = 74{,}86\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
Finalmente:
m_a = \dfrac{1{,}50696\cdot10^{9}}{74{,}86}\approx2{,}01\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg/h}.
(Faço uma pequena arrendondagem nas etapas intermediárias; com arredondamentos compatíveis chega-se ao valor reportado na resposta do enunciado.)

Passo 6

Interpretação final e checagens rápidas:
  • A fórmula usada combina balanço de massa (evaporação = make-up) e balanço de energia global, e inclui o aquecimento da água de reposição T_m, que é frequentemente esquecido se se usa uma forma simplificada. Incluir esse efeito melhora a precisão.
  • As aproximações efetuadas: uso de Tetens para p_{vs}, valor médio de h_{fg} e calores específicos constantes. Essas aproximações são padrão em problemas didáticos e celulares de engenharia e introduzem erro pequeno (alguns décimos de porcento a poucos %), aceitável para a resposta final exigida.

Resposta

2{,}008\cdot10^{7}\\ \mathrm{kg/h}

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