Uma amostra de 1,00 \mathrm{~mol} de Ar se expande isotermicamente, a 10^{\circ} \mathrm{C}, de 10,0 \mathrm{dm}^{3} até 30,0 \mathrm{dm}^{3} livremente (contra uma pressão externa nula). Calcule q, w e \Delta U.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Quantidade de matéria: n=1,00\\ \mathrm{mol} (peguei do enunciado).
  • Gás: argônio (Ar), que é um gás monoatômico ideal (informação útil mais adiante).
  • Processo: expansão isotérmica a 10^\circ\mathrm{C}. Converter para Kelvin:
10^\circ\mathrm{C}=10+273,15=283,15\\ \mathrm{K}.
  • Volume inicial: V_i=10,0\\ \mathrm{dm}^3. Como 1\\ \mathrm{dm}^3=10^{-3}\\ \mathrm{m}^3,
V_i=10,0\times10^{-3}=0,0100\\ \mathrm{m}^3.
  • Volume final: V_f=30,0\\ \mathrm{dm}^3. Portanto
V_f=30,0\times10^{-3}=0,0300\\ \mathrm{m}^3.
  • Expansão livre contra pressão externa nula: P_{\text{ext}}=0 (peguei isso do enunciado).
O enunciado pede:
  • Calcular q (calor trocado),
  • w (trabalho),
  • \Delta U (variação de energia interna).

Passo 2

Entender e escrever a fórmula do trabalho de expansão contra pressão externa constante.
Expansão (trabalho de pressão) é dado pela integral
w=-\int_{V_i}^{V_f}P_{\text{ext}}\,dV,
onde:
  • w é o trabalho na convenção da termodinâmica (energia transferida para o sistema por trabalho); nesta convenção, expansão do sistema realiza trabalho sobre os arredores e normalmente dá w<0.
  • P_{\text{ext}} é a pressão externa que realiza a resistência ao aumento de volume.
    Para o caso de pressão externa constante essa integral vira
w=-P_{\text{ext}}(V_f-V_i).
No nosso caso o enunciado diz que P_{\text{ext}}=0. Substituindo:
w=-0\cdot(V_f-V_i)=0.
Unidade: \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3=\mathrm{J}. Portanto
w=0\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Explicar a variação de energia interna de um gás ideal e aplicar ao caso isoterma.
Propriedade importante (e muito usada em provas): para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Em forma prática:
U=n C_V T,
onde:
  • U é a energia interna,
  • n é o número de mols,
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante,
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Logo a variação de energia interna é
\Delta U = n C_V \Delta T.
No processo dado é especificado que é isotérmico, isto é \Delta T=0. Portanto
\Delta U = n C_V\cdot 0 = 0.
Para reforçar: mesmo que se use C_V=\tfrac{3}{2}R para um gás monoatômico (argônio), multiplicando por \Delta T=0 dá zero. Numérico:
\Delta U=0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para obter q.
A Primeira Lei, na convenção química, é
\Delta U = q + w,
onde:
  • q é o calor absorvido pelo sistema (positivo quando entra no sistema),
  • w é o trabalho feito sobre o sistema (positivo quando feito sobre o sistema).
Rearranjando para q:
q=\Delta U - w.
Substituindo os valores encontrados:
q=0 - 0 = 0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretação física curta e encorajamento.
Resultado intuitivo: numa expansão livre contra vácuo não há resistência, então o sistema não realiza trabalho ( w=0). Para um gás ideal a energia interna depende só da temperatura; como o processo é isotérmico a energia interna não muda ( \Delta U=0). Pela primeira lei, o calor trocado também é zero. Tudo consistente — três zeros. Bom trabalho por pedir essa questão; isso é clássico e importante decorar para a prova.

Resposta

q=0\\ \mathrm{J}
w=0\\ \mathrm{J}
\Delta U=0\\ \mathrm{J}

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