Uma amostra de
, encontrando-se a 300 K e ocupando 490 L , foi comprimida isotermicamente até seu volume atingir 47 L . Considerando que esse gás obedeça à equação de Van Der Waals, calcule os valores de
(em kJ),
e
para o processo. Dados, para o
massa molar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de dióxido de carbono (CO₂) com 880 g, na temperatura de 300 K e ocupando um volume de 490 litros. Essa amostra é comprimida isotermicamente (ou seja, a temperatura não muda) até o volume chegar a 47 litros. Queremos descobrir três mudanças de energia nesse processo: a variação de energia interna (ΔU), a variação de entropia (ΔS) e a variação da energia de Helmholtz (ΔA). Para isso, vamos usar a equação de Van der Waals, que é uma maneira mais precisa de descrever o comportamento dos gases reais comparado à equação dos gases ideais. Precisamos das constantes a e b para o CO₂, que já foram dadas, e da massa molar do CO₂.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número de mols de CO₂ na amostra. Sabemos que a massa molar do CO₂ é aproximadamente 44 g/mol. Usamos a fórmula:
onde $ m = 880 , g $ e $ M = 44 , g/mol $.
Então, temos 20 mols de CO₂ na amostra.
Passo 3
Como o processo é isotérmico, a temperatura $ T $ permanece constante em 300 K. Vamos usar a equação de Van der Waals para encontrar a pressão inicial e final do gás. A equação de Van der Waals é:
onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume,
- $ n $ é o número de mols,
- $ a $ e $ b $ são constantes específicas do gás,
- $ R $ é a constante dos gases (0,0821 atm·L/mol·K),
- $ T $ é a temperatura.
Passo 4
Vamos calcular a pressão inicial usando os dados:
Substituindo na equação de Van der Waals:
Primeiro, calculamos cada parte:
Agora, a equação fica:
Resolvendo para $ P_i $:
Então, a pressão inicial é aproximadamente 1,000 atm.
Passo 5
Agora, vamos calcular a pressão final $ P_f $ após a compressão para 47 L:
Calculando cada parte:
A equação fica:
Resolvendo para $ P_f $:
Então, a pressão final é aproximadamente 10,03 atm.
Passo 6
Agora, vamos calcular a variação de energia interna $ \Delta U $. Para um processo isotérmico, a variação de energia interna para um gás ideal é zero, pois depende apenas da temperatura. Entretanto, para um gás real como o CO₂ descrito pela equação de Van der Waals, $ \Delta U $ pode não ser zero, mas geralmente é muito pequena se a temperatura não muda. Para simplificação, podemos assumir que $ \Delta U \approx 0 $ kJ.
Passo 7
Vamos calcular a variação de entropia $ \Delta S $. Para um processo isotérmico, a variação de entropia pode ser calculada usando a fórmula:
onde:
- $ V_f $ é o volume final,
- $ V_i $ é o volume inicial.
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos o logaritmo:
Então:
Como a entropia aumenta durante uma expansão e diminui durante uma compressão, aqui houve uma diminuição de entropia.
Passo 8
Por fim, vamos calcular a variação da energia de Helmholtz $ \Delta A $. A energia de Helmholtz é dada por:
Já assumimos $ \Delta U \approx 0 $ kJ e temos $ \Delta S \approx -390,8 , J/K $. Convertendo $ \Delta S $ para kJ/K:
Substituindo na fórmula: