Uma amostra sólida contém 3,000 \mathrm{mg} de soluto em 150 g de material. O coeficiente \mathrm{K}=3,0 \mathrm{~mL} \cdot \mathrm{~g}^{-1}. Usa-se 250 mL de solvente. Calcule a massa extraída e o rendimento (%).

Passo 1

O que o problema pede: calcular (1) a massa de soluto extraída pelo solvente e (2) o rendimento dessa extração em porcentagem.
Dados fornecidos:
M_0 = 3000\\ \mathrm{mg}
(soluto total inicialmente na amostra),
m = 150\\ \mathrm{g}
(massa do material sólido),
K = 3{,}0\\ \mathrm{mL}\cdot\mathrm{g}^{-1}
(coeficiente de partição dado),
V = 250\\ \mathrm{mL}
(volume de solvente usado).
Unidades: reparei que M_0 está em \mathrm{mg}, m em \mathrm{g}, V em \mathrm{mL} e K em \mathrm{mL}\cdot\mathrm{g}^{-1}. Vou manter essas unidades consistentes ao longo da resolução.

Passo 2

Entendendo o coeficiente K e as incógnitas físicas: no equilíbrio entre sólido e solvente podemos usar duas grandezas de concentração:
C_s = \text{concentração do soluto no solvente, em }\mathrm{mg}\cdot\mathrm{mL}^{-1},çã
q = \text{quantidade de soluto por grama de sólido em equilíbrio, em }\mathrm{mg}\cdot\mathrm{g}^{-1}.óí
O coeficiente K é definido como a razão entre q e C_s:
K=\frac{q}{C_s}.
Verificação de unidades: \frac{q}{C_s} tem unidades \frac{\mathrm{mg}/\mathrm{g}}{\mathrm{mg}/\mathrm{mL}}=\mathrm{mL}\cdot\mathrm{g}^{-1}, que bate com a unidade dada para K. Isso faz sentido físico: K diz quantos mL por grama equivale a uma unidade de concentração no solvente.

Passo 3

Equação de conservação de massa do soluto (tudo que estava no sólido inicialmente se distribui entre solvente e sólido em equilíbrio):
M_0 = C_s\cdot V + q\cdot m.
Agora substituímos q por K C_s (pela definição do coeficiente):
M_0 = C_s\cdot V + (K C_s)\cdot m.
Fatorando C_s:
M_0 = C_s\,(V + K m).

Passo 4

Isolando C_s da equação anterior:
C_s = \frac{M_0}{V + K m}.
Essa é a concentração do soluto no solvente no equilíbrio. Observação prática: quanto maior for V (ou menor K ou m), maior será C_s relativo a M_0 — mas isso vem do cálculo.

Passo 5

Massa de soluto extraída para o solvente ( M_{\text{ext}}) é a concentração equilibrada multiplicada pelo volume de solvente:
M_{\text{ext}} = C_s\cdot V = \frac{M_0\,V}{V + K m}.
Agora substituímos os valores numéricos dados:
M_{\text{ext}} = \frac{3000\cdot 250}{250 + 3{,}0\cdot 150}\\ \mathrm{mg}.
Calculemos o denominador passo a passo:
K m = 3{,}0\cdot 150 = 450\\ \mathrm{mL},
V + K m = 250 + 450 = 700\\ \mathrm{mL}.
Logo
M_{\text{ext}} = \frac{3000\cdot 250}{700}\\ \mathrm{mg}.

Passo 6

Simplificando a fração:
\frac{3000\cdot 250}{700} = 3000\cdot\frac{250}{700}=3000\cdot\frac{25}{70}=3000\cdot\frac{5}{14}=\frac{15000}{14}.
Calculando:
\frac{15000}{14}\approx 1071{,}428571\\ \mathrm{mg}.
Arredondando razoavelmente (mantendo duas casas decimais):
M_{\text{ext}}\approx 1071{,}43\\ \mathrm{mg}.
Observação: em gramas isso seria aproximadamente 1{,}071\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Rendimento (%) é a fração do soluto inicial que foi para o solvente, multiplicada por 100\%:
\text{rendimento} = \frac{M_{\text{ext}}}{M_0}\times 100\% = \frac{V}{V+K m}\times 100\%.
Usando os números:
\text{rendimento} = \frac{250}{700}\times 100\% = \frac{25}{70}\times 100\% = \frac{5}{14}\times 100\%.
Calculando:
\frac{5}{14}\times 100\%\approx 35{,}7142857\%.
Arredondando:
\text{rendimento}\approx 35{,}71\%.

Resposta

M_{\text{ext}} \approx 1071{,}43\\ \mathrm{mg}
\text{rendimento} \approx 35{,}71\%

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