Um material com
e
é extraído com
por etapa. Quantas extrações são necessárias para obter pelo menos
de recuperação?
Passo 1
O enunciado pede: quantas extrações sucessivas, usando volume
por etapa, são necessárias para recuperar pelo menos
do soluto inicialmente presente. Dados fornecidos:
Aqui
é a massa inicial do soluto (não precisamos do valor absoluto para a fração recuperada),
é a massa da fase sólida/matriz que contém o soluto,
é o coeficiente de partição e
é o volume de solvente usado em cada etapa. Vou assumir que o solvente tem densidade
(portanto
corresponde a
de solvente), que é a suposição padrão nesses exercícios quando nada mais é dito.
Passo 2
Entendendo o que é o coeficiente de partição
e o equilíbrio numa extração:
O coeficiente é definido como a razão entre a concentração do soluto na fase de solvente e a concentração do soluto na fase sólida, usando ambas as concentrações em base de massa (por exemplo,
e
). Em equilíbrio, se
é a massa de soluto transferida para o solvente numa extração, então
O coeficiente
e
Pela definição de
temos:
Essa equação relaciona quanto sai do sólido com o equilíbrio de partição entre as fases.
Passo 3
Resolver a equação de equilíbrio para
(a massa extraída numa etapa):
Partindo de
Partindo de
multiplicamos em cruz:
Isolando
:
logo
A fração do soluto que permanece no sólido após uma extração (estoque remanescente dividido por
) é
Denotando essa fração remanescente por
, temos
Passo 4
Aplicar os números do problema para obter
:
Usando ,
e
(assumindo densidade
),
Usando
Interpretação: após UMA extração com
de solvente, resta
do soluto no sólido; portanto a fração extraída numa única etapa é
.
Passo 5
Formula geral para extrações sucessivas e condição de recuperação mínima:
Se fazemos extrações sucessivas, cada uma com
de solvente fresco, a fração do soluto que permanece no sólido após
extrações é
Se fazemos
A fração total recuperada é
. Queremos pelo menos
recuperado, ou seja
Podemos resolver para
com logaritmos:
No nosso caso, como
, já vemos que
portanto
já satisfaz a condição. Para confirmar numericamente com a fórmula:
logo o menor inteiro
que satisfaz a desigualdade é
.
Resposta
1 extração