Um material com \mathrm{M}_{0}=500 \mathrm{mg}, \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=60 \mathrm{~g} e \mathrm{K}=6 é extraído com \mathrm{V}=50 \mathrm{~mL} por etapa. Quantas extrações são necessárias para obter pelo menos 80 \% de recuperação?

Passo 1

O enunciado pede: quantas extrações sucessivas, usando volume V por etapa, são necessárias para recuperar pelo menos 80\% do soluto inicialmente presente. Dados fornecidos:
M_{0}=500\\ \mathrm{mg},
m_{s}=60\\ \mathrm{g},
K=6,
V=50\\ \mathrm{mL}.
Aqui M_{0} é a massa inicial do soluto (não precisamos do valor absoluto para a fração recuperada), m_{s} é a massa da fase sólida/matriz que contém o soluto, K é o coeficiente de partição e V é o volume de solvente usado em cada etapa. Vou assumir que o solvente tem densidade 1\\ \mathrm{g/mL} (portanto V=50\\ \mathrm{mL} corresponde a 50\\ \mathrm{g} de solvente), que é a suposição padrão nesses exercícios quando nada mais é dito.

Passo 2

Entendendo o que é o coeficiente de partição K e o equilíbrio numa extração:
O coeficiente K é definido como a razão entre a concentração do soluto na fase de solvente e a concentração do soluto na fase sólida, usando ambas as concentrações em base de massa (por exemplo, \mathrm{mg\\ soluto/g\\ solvente} e \mathrm{mg\\ soluto/g\\ sólido}ó). Em equilíbrio, se x é a massa de soluto transferida para o solvente numa extração, então
\text{concentração no solvente}=\frac{x}{\text{massa do solvente}}=\frac{x}{V}çã
e
\text{concentração no sólido}=\frac{M_{0}-x}{m_{s}}.çãó
Pela definição de K temos:
K=\frac{\frac{x}{V}}{\frac{M_{0}-x}{m_{s}}}.
Essa equação relaciona quanto sai do sólido com o equilíbrio de partição entre as fases.

Passo 3

Resolver a equação de equilíbrio para x (a massa extraída numa etapa):
Partindo de
K=\frac{\frac{x}{V}}{\frac{M_{0}-x}{m_{s}}},
multiplicamos em cruz:
x\,m_{s}=K\,V\,(M_{0}-x).
Isolando x:
x\,(m_{s}+K\,V)=K\,V\,M_{0},
logo
x=\frac{K\,V\,M_{0}}{m_{s}+K\,V}.
A fração do soluto que permanece no sólido após uma extração (estoque remanescente dividido por M_{0}) é
\frac{M_{0}-x}{M_{0}}=1-\frac{x}{M_{0}}=1-\frac{K\,V}{m_{s}+K\,V}=\frac{m_{s}}{m_{s}+K\,V}.
Denotando essa fração remanescente por r, temos
r=\frac{m_{s}}{m_{s}+K\,V}.

Passo 4

Aplicar os números do problema para obter r:
Usando m_{s}=60\\ \mathrm{g}, K=6 e V=50\\ \mathrm{mL}=50\\ \mathrm{g} (assumindo densidade 1\\ \mathrm{g/mL}),
r=\frac{60}{60+6\cdot 50}=\frac{60}{60+300}=\frac{60}{360}=\frac{1}{6}\approx 0,166666\ldots
Interpretação: após UMA extração com 50\\ \mathrm{mL} de solvente, resta \tfrac{1}{6} do soluto no sólido; portanto a fração extraída numa única etapa é 1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}\approx 83{,}33\%.

Passo 5

Formula geral para extrações sucessivas e condição de recuperação mínima:
Se fazemos n extrações sucessivas, cada uma com V de solvente fresco, a fração do soluto que permanece no sólido após n extrações é
r^{n}=\left(\frac{m_{s}}{m_{s}+K\,V}\right)^{n}.
A fração total recuperada é 1-r^{n}. Queremos pelo menos 80\% recuperado, ou seja
1-r^{n}\ge 0,8 \quad\Longleftrightarrow\quad r^{n}\le 0,2.
Podemos resolver para n com logaritmos:
n\ge\frac{\ln(0,2)}{\ln(r)}.
No nosso caso, como r=\tfrac{1}{6}\approx0{,}1667, já vemos que
r^{1}=\frac{1}{6}\approx0{,}1667\le 0{,}2,
portanto n=1 já satisfaz a condição. Para confirmar numericamente com a fórmula:
\frac{\ln(0,2)}{\ln(1/6)}\approx\frac{-1{,}609438}{-1{,}791759}\approx0{,}898<1,
logo o menor inteiro n que satisfaz a desigualdade é n=1.

Resposta

1 extração

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