Uma substância tem \mathrm{K}=10. Qual o mínimo número de extrações de 20 mL necessárias para extrair pelo menos 95 \% de um soluto dissolvido em 100 mL de água?

Passo 1

O enunciado pede o número mínimo de extrações com solvente orgânico de volume \,20\\ \text{mL}\, cada para extrair pelo menos 95\% de um soluto inicialmente dissolvido em \,100\\ \text{mL}\, de água, sabendo que a constante de partição é \mathrm{K}=10.
Informações dadas:
\mathrm{K}=10
volume da fase aquosa: V_w=100\\ \text{mL}
volume de cada extração (fase orgânica fresca): V_o=20\\ \text{mL}
objetivo: extrair pelo menos 95\% do soluto (ou seja, deixar no máximo 5\% na água).

Passo 2

Vamos entender a definição e deduzir a fórmula que usamos nas extrações sucessivas.
Definição da constante de partição: \mathrm{K} é a razão entre as concentrações do soluto na fase orgânica e na fase aquosa em equilíbrio:
\mathrm{K}=\frac{C_o}{C_w},
onde C_o é a concentração na fase orgânica e C_w é a concentração na fase aquosa. Concentração significa quantidade de soluto por volume (por exemplo, mol por mL).
Seja N_0 a quantidade inicial de soluto (por exemplo, em mol) presente só na água antes da primeira extração. Após uma extração com volume orgânico V_o, deixam-se N_w mol na água e N_o mol no orgânico. Então
C_w=\frac{N_w}{V_w},\qquad C_o=\frac{N_o}{V_o}.
Usando \mathrm{K}=\dfrac{C_o}{C_w} obtemos
\mathrm{K}=\frac{N_o/V_o}{N_w/V_w} \quad\Longrightarrow\quad N_o = \mathrm{K}\,N_w\frac{V_o}{V_w}.
Pela conservação de massa N_w+N_o=N_0. Substituindo N_o e isolando N_w:
N_w + \mathrm{K}\,N_w\frac{V_o}{V_w} = N_0 \quad\Longrightarrow\quad N_w = \frac{N_0}{1+\mathrm{K}\dfrac{V_o}{V_w}}.
Portanto, a fração do soluto que permanece na água após uma extração é
\frac{N_w}{N_0}=\frac{1}{1+\mathrm{K}\dfrac{V_o}{V_w}}.

Passo 3

Agora aplicamos os valores numéricos:
Calcule \mathrm{K}\dfrac{V_o}{V_w} = 10\cdot\dfrac{20}{100}. Todos os números em TeX:
\mathrm{K}\frac{V_o}{V_w}=10\cdot\frac{20}{100}=10\cdot\frac{1}{5}=2.
Logo a fração que permanece após uma extração é
\frac{N_w}{N_0}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}.
Isso significa que, em uma única extração de 20\\ \text{mL}, fica na água \dfrac{1}{3}\approx 33{,}33\% do soluto e é extraído 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\approx 66{,}67\%.

Passo 4

Quando fazemos extrações sucessivas com volumes orgânicos frescos de mesma magnitude, em cada extração a fração que restou na água é multiplicada pelo mesmo fator \dfrac{1}{1+\mathrm{K}\dfrac{V_o}{V_w}}. Assim, após n extrações a fração que permanece na água é
\left(\frac{1}{1+\mathrm{K}\dfrac{V_o}{V_w}}\right)^{n}.
Com os números do problema essa expressão fica
\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Queremos que essa fração seja menor ou igual a 5\%, isto é:
\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\le 0{,}05.

Passo 5

Resolvendo a desigualdade para n usando logaritmos:
n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)}.
Calculando numericamente (apenas aproximações para decidir n):
\ln(0{,}05)\approx -2{,}995732,\qquad \ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-\ln 3\approx -1{,}098612,
n \ge \frac{-2{,}995732}{-1{,}098612}\approx 2{,}727.
Como n deve ser um número inteiro de extrações, escolhemos o menor inteiro maior ou igual a 2{,}727, ou seja n=3.
Verificação rápida:
\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\approx 11{,}11\%>5\% \quad\text{(insuficiente)},
\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}\approx 3{,}70\%\le 5\% \quad\text{(suficiente)}.

Passo 6

Resumo didático curto: a cada extração fica \dfrac{1}{3} do que estava na água; com duas extrações fica \left(\tfrac{1}{3}\right)^2, com três fica \left(\tfrac{1}{3}\right)^3. Precisamos que o que resta seja no máximo 5\%; \left(\tfrac{1}{3}\right)^3 já é cerca de 3{,}7\%, então três extrações bastam. Força aí na prova — isso é um clássico de química física/extração líquido-líquido e agora você já sabe o raciocínio para qualquer número!

Resposta

3 extrações

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