Uma substância tem \mathrm{K}=10. Qual o mínimo número de extrações de 20 mL necessárias para extrair pelo menos 95 \% de um soluto dissolvido em 100 mL de água?
Passo 1
O enunciado pede o número mínimo de extrações com solvente orgânico de volume \,20\\ \text{mL}\, cada para extrair pelo menos 95\% de um soluto inicialmente dissolvido em \,100\\ \text{mL}\, de água, sabendo que a constante de partição é \mathrm{K}=10.
Informações dadas: \mathrm{K}=10
volume da fase aquosa: V_w=100\\ \text{mL}
volume de cada extração (fase orgânica fresca): V_o=20\\ \text{mL}
objetivo: extrair pelo menos 95\% do soluto (ou seja, deixar no máximo 5\% na água).
Passo 2
Vamos entender a definição e deduzir a fórmula que usamos nas extrações sucessivas.
Definição da constante de partição: \mathrm{K} é a razão entre as concentrações do soluto na fase orgânica e na fase aquosa em equilíbrio:
\mathrm{K}=\frac{C_o}{C_w},
onde C_o é a concentração na fase orgânica e C_w é a concentração na fase aquosa. Concentração significa quantidade de soluto por volume (por exemplo, mol por mL).
Seja N_0 a quantidade inicial de soluto (por exemplo, em mol) presente só na água antes da primeira extração. Após uma extração com volume orgânico V_o, deixam-se N_w mol na água e N_o mol no orgânico. Então
Isso significa que, em uma única extração de 20\\ \text{mL}, fica na água \dfrac{1}{3}\approx 33{,}33\% do soluto e é extraído 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\approx 66{,}67\%.
Passo 4
Quando fazemos extrações sucessivas com volumes orgânicos frescos de mesma magnitude, em cada extração a fração que restou na água é multiplicada pelo mesmo fator \dfrac{1}{1+\mathrm{K}\dfrac{V_o}{V_w}}. Assim, após n extrações a fração que permanece na água é
Resumo didático curto: a cada extração fica \dfrac{1}{3} do que estava na água; com duas extrações fica \left(\tfrac{1}{3}\right)^2, com três fica \left(\tfrac{1}{3}\right)^3. Precisamos que o que resta seja no máximo 5\%; \left(\tfrac{1}{3}\right)^3 já é cerca de 3{,}7\%, então três extrações bastam. Força aí na prova — isso é um clássico de química física/extração líquido-líquido e agora você já sabe o raciocínio para qualquer número!