Animal equipado com radar: Um morcego consegue medir a velocidade de sua presa utilizando o mesmo princípio de funcionamento de um radar. Ele emite som através de suas narinas e depois recebe o som refletido por sua presa e determina a velocidade dela. Um morcego que se move com velocidade v_{m} emite som com frequência f_{m}; ele recebe o som refletido por um inseto, com frequência f_{r}. Considerando que o inseto se afasta do morcego com velocidade \left(v_{i}\right), encontre uma expressão para a velocidade do morcego em termos de v_{i}, f_{m}, f_{r} e da velocidade do som (v).

Passo 1

O enunciado trata do efeito Doppler de ida e volta: um morcego (fonte e depois receptor) em movimento com velocidade v_{m} emite som de frequência \,f_{m}, que é refletido por um inseto afastando-se com velocidade v_{i}. O batimento final medido pelo morcego é \,f_{r}. Para resolver precisamos usar a fórmula geral do Doppler em meio estacionário, primeiro para o inseto (observador móvel e fonte móvel) e depois para o morcego atuando agora como observador de uma fonte móvel (o inseto refletor).

Passo 2

O inseto inicialmente recebe a onda emitida pelo morcego. Como a fonte (morcego) se aproxima do inseto com velocidade v_{m} e o observador (inseto) se afasta com velocidade v_{i}, a frequência f_{1} que o inseto ouve é
f_{1} = f_{m}\,\frac{v - v_{i}}{\,v - v_{m}\,}.

Passo 3

Em seguida, o inseto reflete esse som agindo como fonte que se afasta do morcego com velocidade v_{i}, e o morcego (receptor) aproxima-se dessa fonte com velocidade v_{m}. A frequência f_{r} recebida pelo morcego é
f_{r} = f_{1}\,\frac{\,v + v_{m}\,}{\,v + v_{i}\,}.

Passo 4

Substituindo f_{1} em f_{r} obtemos
f_{r} = f_{m}\, \frac{v - v_{i}}{v - v_{m}} \;\times\; \frac{v + v_{m}}{v + v_{i}} = f_{m}\, \frac{(v - v_{i})(v + v_{m})}{(v - v_{m})(v + v_{i})}.
Agora isolamos v_{m}. Primeiro escrevemos
f_{r}\,(v - v_{m})(v + v_{i}) =f_{m}\,(v - v_{i})(v + v_{m}).
Fazendo a expansão e coletando os termos com v_{m}, segue-se a álgebra (correndo itens semelhantes, agrupando e resolvendo para v_{m}) e chega-se a
v_{m} = v \;\frac{v\,(f_{r}-f_{m}) \;+\; v_{i}\,(f_{r}+f_{m})} {v\,(f_{r}+f_{m}) \;+\; v_{i}\,(f_{r}-f_{m})}.

Resposta

v_{m} = v \;\frac{v\,(f_{r}-f_{m}) + v_{i}\,(f_{r}+f_{m})} {v\,(f_{r}+f_{m}) + v_{i}\,(f_{r}-f_{m})}.

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