Animal equipado com radar: Um morcego consegue medir a velocidade de sua presa utilizando o mesmo princípio de funcionamento de um radar. Ele emite som através de suas narinas e depois recebe o som refletido por sua presa e determina a velocidade dela. Um morcego que se move com velocidade
emite som com frequência
; ele recebe o som refletido por um inseto, com frequência
. Considerando que o inseto se afasta do morcego com velocidade
, encontre uma expressão para a velocidade do morcego em termos de
,
e da velocidade do som
.
Passo 1
O enunciado trata do efeito Doppler de ida e volta: um morcego (fonte e depois receptor) em movimento com velocidade
emite som de frequência
, que é refletido por um inseto afastando-se com velocidade
. O batimento final medido pelo morcego é
. Para resolver precisamos usar a fórmula geral do Doppler em meio estacionário, primeiro para o inseto (observador móvel e fonte móvel) e depois para o morcego atuando agora como observador de uma fonte móvel (o inseto refletor).
Passo 2
O inseto inicialmente recebe a onda emitida pelo morcego. Como a fonte (morcego) se aproxima do inseto com velocidade
e o observador (inseto) se afasta com velocidade
, a frequência
que o inseto ouve é
Passo 3
Em seguida, o inseto reflete esse som agindo como fonte que se afasta do morcego com velocidade
, e o morcego (receptor) aproxima-se dessa fonte com velocidade
. A frequência
recebida pelo morcego é
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
Agora isolamos
. Primeiro escrevemos
Fazendo a expansão e coletando os termos com
, segue-se a álgebra (correndo itens semelhantes, agrupando e resolvendo para
) e chega-se a