- Variação da pressão atmosférica com a altitude: Para um fluido compressível, em equilíbrio em um campo gravitacional, pode-se escrever:
. (a) Considerando que a atmosfera terrestre pode ser modelada como um gás ideal (
), onde
e
são constantes, encontre
para uma atmosfera isotérmica. (b) Sabe-se que a temperatura da atmosfera varia com a altura
, por simplicidade vamos considerar uma aproximação linear, i.e.,
, onde
é a temperatura na superfície da Terra e
representa a taxa de diminuição da temperatura. Para essa nova situação, encontre
. 5. Pressão da água em uma casa: A água entra em uma casa através de um cano com diâmetro interno de
e com uma pressão igual a 4 atm . Um cano com diâmetro interno de 2 cm conduz a água ao banheiro do segundo andar, a 5 m de altura. Considerando que no cano de entrada a velocidade é igual a
, encontre a velocidade de escoamento, a pressão e a vazão no banheiro.
Passo 1
O exercício
pede a variação da pressão
com a altura
em duas situações:
a) atmosfera isotérmica ( constante), usando
e a equação dos gases ideais.
b) atmosfera com temperatura variando linearmente .
a) atmosfera isotérmica (
b) atmosfera com temperatura variando linearmente
O exercício
é um problema de escoamento de água numa tubulação doméstica: conhecemos diâmetro, pressão e velocidade na entrada e precisamos achar a velocidade, a pressão e a vazão no segundo andar, aplicando conservação de massa (continuidade) e a equação de Bernoulli sem perdas.
Passo 2
Para
(a): temperatura constante
. A densidade de um gás ideal é
onde
é a massa molar do ar. Substituindo em
dá
Separamos variáveis:
e integramos de
(onde
) até
:
Passo 3
Para
(b): agora
. A mesma relação
leva a
Integramos de
a
:
Passo 4
Dessa forma:
Passo 5
Agora o exercício
. Dados na entrada (piso térreo):
diâmetro , pressão
, velocidade
.
No segundo andar: , diferença de altura
.
Queremos ,
e vazão
. Usamos
da água
e
.
diâmetro
No segundo andar:
Queremos
Passo 6
Continuidade:
Passo 7
Bernoulli (sem perdas), tomando nível
,
:
Rearranjando para
:
Passo 8
Numérico:
,
,
.
Logo
Logo
A vazão
é