Paredão sonoro: A potência de um paredão sonoro pode atingir até 10.000 W. Calcule o nível sonoro a 1 m de distância de um paredão com essa potência. Encontre a distância mínima que uma pessoa precisa ficar desse paredão para que o som que chega ao seu ouvido não ultrapasse o limite da sensação dolorosa ( 120 dB ).

Passo 1

O enunciado diz que um paredão sonoro emite potência acústica de P = 10\,000\\ \mathrm{W}. Precisamos (a) calcular o nível sonoro a 1\\ \mathrm{m} desse paredão e (b) achar a distância mínima para que o nível não ultrapasse 120\\ \mathrm{dB} (limite de dor). Vamos usar a propagação esférica em campo livre e a definição de nível sonoro em decibéis.

Passo 2

Em campo livre, a intensidade sonora a distância r é
I(r) = \frac{P}{4\pi r^2}\,.
O nível sonoro correspondente, em decibéis, é
L(r) = 10\,\log_{10}\!\biggl(\frac{I(r)}{I_0}\biggr),
onde I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2} é a referência.

Passo 3

Para r = 1\\ \mathrm{m}, temos
I(1) = \frac{10\,000}{4\pi\cdot1^2} = \frac{10^4}{4\pi}\\ \mathrm{W/m^2}
e
L(1) = 10\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{10^4/(4\pi)}{10^{-12}}\Bigr) = 10\,\bigl[\log_{10}(10^4) \;-\;\log_{10}(4\pi)\;+\;12\bigr].
Sabendo \log_{10}(10^4)=4 e \log_{10}(4\pi)\approx1,099, obtém-se
L(1)\approx 10\,[4 - 1,099 + 12] = 10\cdot14,901 = 149{,}0\\ \mathrm{dB}.

Passo 4

Queremos L(r_{\min}) = 120\\ \mathrm{dB}. Ou seja,
10\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{P}{4\pi r_{\min}^2\,I_0}\Bigr) = 120 \quad\Longrightarrow\quad \frac{P}{4\pi r_{\min}^2\,I_0} = 10^{12}.
Como I_0=10^{-12}, o produto 10^{12}I_0 = 1. Logo
\frac{P}{4\pi r_{\min}^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad r_{\min} = \sqrt{\frac{P}{4\pi}} = \sqrt{\frac{10\,000}{4\pi}} \approx 28{,}2\\ \mathrm{m}.

Resposta

O nível sonoro a 1\\ \mathrm{m} é aproximadamente 149{,}0\\ \mathrm{dB}.
A pessoa deve ficar, no mínimo, a cerca de 28{,}2\\ \mathrm{m} de distância para não ultrapassar 120\\ \mathrm{dB}.

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