Variação da pressão atmosférica com a altitude: Para um fluido compressível, em equilíbrio em um campo gravitacional, pode-se escrever: d p / d y=-\rho g.
Considerando que a atmosfera terrestre pode ser modelada como um gás ideal ( p V=n R T ), onde n e R são constantes, encontre p(y) para uma atmosfera isotérmica.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de equilíbrio hidrostático
\frac{d p}{d y} = -\rho\,g
e diz que a atmosfera se comporta como um gás ideal em condição isotérmica, ou seja, a temperatura T é constante. A lei do gás ideal é
p\,V = n\,R\,T,
onde n é o número de mols e R é a constante universal dos gases. Nosso objetivo é encontrar p(y).

Passo 2

Precisamos expressar a densidade \rho em função da pressão p. Seja m a massa de ar contida no volume V e M a massa molar do ar. Então
n = \frac{m}{M}
e a densidade é
\rho = \frac{m}{V}.
Substituindo n na equação do gás ideal obtemos
p\,V = \frac{m}{M}\,R\,T \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{m}{V}\,\frac{R\,T}{M} \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{m}{V} = \frac{M\,p}{R\,T}.

Passo 3

Substituindo \rho = \tfrac{M\,p}{R\,T} na equação hidrostática, temos
\frac{d p}{d y} = -\frac{M\,p}{R\,T}\,g \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p}\,\frac{d p}{d y} = -\frac{M\,g}{R\,T}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em y, assumindo que em y=0 a pressão é p(0)=p_{0}:
\int_{p_{0}}^{p(y)} \frac{1}{p'}\,d p' \;=\; -\frac{M\,g}{R\,T}\int_{0}^{y} d y' \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\biggl(\frac{p(y)}{p_{0}}\biggr) = -\frac{M\,g}{R\,T}\,y.

Resposta

p(y) = p_{0}\,\exp\!\Bigl(-\tfrac{M\,g}{R\,T}\,y\Bigr).

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