Aplique a transformada inversa de Laplace (unilateral) para determinar os seguintes sinais no domínio do tempo:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa unilateral de Laplace do sinal dado em
:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão racional
é a transformada de um sinal causal (inversa unilateral). - O denominador pode ser fatorado e a fração pode precisar de divisão polinomial para ficar própria antes de decompor em frações parciais.
Passo 2
Primeiro ver se a fração é própria (grau do numerador < grau do denominador). Aqui ambos têm grau
, portanto fazemos divisão polinomial (ou identificamos a parte polinomial) para separar uma parte polinomial e uma parte própria.
Vamos dividir
por
. O quociente inicial é
porque
. Multiplicando e subtraindo:
Subtraindo do numerador:
Portanto
Passo 3
Fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais:
Escrever a parte própria como soma de termos simples:
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes temos o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda dá
.
Logo
Passo 4
Agora escrevemos
somando as partes encontradas:
Precisamos inverter cada termo. Lembrando as transformadas conhecidas (unilateral, sinais causais):
-
. Assim a transformada inversa de uma constante em é . -
para . Logo inverte para e inverte para .
Aplicando isso aos termos:
-
em corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a .
Passo 5
Juntando tudo, a transformada inversa unilateral é
Breve comentário de sanidade (checagem): fazendo a transformada de Laplace de
volta-se a
, que é igual à forma obtida antes da decomposição, e ao recombinar frações recupera-se
, confirmando a inversão.