Aplique a transformada inversa de Laplace (unilateral) para determinar os seguintes sinais no domínio do tempo:
X(s)=\frac{2 s^{2}+5}{s^{2}+3 s+2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa unilateral de Laplace do sinal dado em s:
X(s)=\frac{2 s^{2}+5}{s^{2}+3 s+2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão racional \dfrac{2 s^{2}+5}{s^{2}+3 s+2} é a transformada X(s) de um sinal causal x(t) (inversa unilateral).
  • O denominador pode ser fatorado e a fração pode precisar de divisão polinomial para ficar própria antes de decompor em frações parciais.

Passo 2

Primeiro ver se a fração é própria (grau do numerador < grau do denominador). Aqui ambos têm grau 2, portanto fazemos divisão polinomial (ou identificamos a parte polinomial) para separar uma parte polinomial e uma parte própria.
Vamos dividir 2s^{2}+0s+5 por s^{2}+3s+2. O quociente inicial é 2 porque 2s^{2}/s^{2}=2. Multiplicando e subtraindo:
2\cdot\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)=2s^{2}+6s+4.
Subtraindo do numerador:
(2s^{2}+0s+5)-(2s^{2}+6s+4)=-6s+1.
Portanto
X(s)=2+\frac{-6s+1}{s^{2}+3s+2}.

Passo 3

Fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Escrever a parte própria como soma de termos simples:
\frac{-6s+1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)\) obtemos a identidade polinomial \[-6s+1 = A(s+2)+B(s+1) = (A+B)s+(2A+B).
Comparando coeficientes temos o sistema
\begin{cases} A+B=-6,\\[4pt] 2A+B=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda dá A=7\]. Então \(B=-6-A=-13.
Logo
\frac{-6s+1}{(s+1)(s+2)}=\frac{7}{s+1}-\frac{13}{s+2}.]

Passo 4

Agora escrevemos X(s) somando as partes encontradas:
X(s)=2+\frac{7}{s+1}-\frac{13}{s+2}.
Precisamos inverter cada termo. Lembrando as transformadas conhecidas (unilateral, sinais causais):
  • \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1. Assim a transformada inversa de uma constante C em s é C\,\delta(t).
  • \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\dfrac{1}{s+a} para \operatorname{Re}(s) > -a. Logo \dfrac{1}{s+1} inverte para e^{-t}u(t) e \dfrac{1}{s+2} inverte para e^{-2t}u(t).
Aplicando isso aos termos:
  • 2 em s corresponde a 2\delta(t).
  • \dfrac{7}{s+1} corresponde a 7e^{-t}u(t).
  • -\dfrac{13}{s+2} corresponde a -13e^{-2t}u(t).

Passo 5

Juntando tudo, a transformada inversa unilateral é
x(t)=2\delta(t)+7e^{-t}u(t)-13e^{-2t}u(t).
Breve comentário de sanidade (checagem): fazendo a transformada de Laplace de x(t) volta-se a 2+\dfrac{7}{s+1}-\dfrac{13}{s+2}, que é igual à forma obtida antes da decomposição, e ao recombinar frações recupera-se \dfrac{2s^{2}+5}{s^{2}+3s+2}, confirmando a inversão.

Resposta

x(t)=2\delta(t)+7e^{-t}u(t)-13e^{-2t}u(t)