Um aquecedor elétrico fino é colocado sobre a superfície externa de um longo tubo cilíndrico que transporta fluido frio a 2^{\circ} \mathrm{C} com coefiente de transferência de conveção interno h_{i} de 30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot K. Os raios interno e externo do tubo são 25 mm e 75 mm , respectivamente, que tem condutividade térmica de 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. A resistência entre o aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de comprimento do tubo) é de R^{\prime}=0,01 m . K / W. A superfície externa do aquecedor está exposta a um fluido a -10^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de transferência de calor por conveção h_{c}=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Assumindo que a potência do aquecedor é de 3000 \mathrm{W} / \mathrm{m}, calcule sua temperatura de operação. (4,0 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do fluido interno: T_{\infty,i}=2^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção interna: h_{i}=30\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\!\cdot\! \mathrm{K}.
    • Raio interno do tubo: r_{i}=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}.
    • Raio externo do tubo: r_{o}=75\\ \mathrm{mm}=0,075\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica do tubo: k=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!\cdot\!\mathrm{K}.
    • Resistência térmica de contato entre aquecedor e superfície externa (por unidade de comprimento): R'_{\text{cont}}=0,01\\ \mathrm{m}\!\cdot\!\mathrm{K}/\mathrm{W}.
    • Temperatura do fluido externo: T_{\infty,c}=-10^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção externo (sobre o aquecedor): h_{c}=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\!\cdot\!\mathrm{K}.
    • Potência do aquecedor por comprimento: q' = 3000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
  • O que se pede:
    • Calcular a temperatura de operação do aquecedor (temperatura da superfície do aquecedor que está exposta ao fluido externo), chamarei essa temperatura de T_h.

Passo 2

Entender o caminho do calor e montar o balanço térmico.
  • O aquecedor está sobre a superfície externa do tubo. A potência q' fornecida pelo aquecedor (por metro de comprimento) é dissipada por duas vias simultâneas:
    1. Direto para o fluido externo por convecção entre a superfície do aquecedor (temperatura T_h) e T_{\infty,c}. Essa via tem resistência associada inversa à área externa e ao h_c.
    2. Para o interior do tubo: o calor passa do aquecedor através da resistência de contato R'_{\text{cont}}, depois por condução através da parede cilíndrica do tubo, e finalmente é removido pelo fluido interno por convecção com coeficiente h_i. Essas resistências aparecem em série, formando uma resistência total do caminho interno.
  • Equação de balanço (estado estacionário, toda potência dissipada):
    q' = q'_{\text{out}} + q'_{\text{in}},
    onde
    q'_{\text{out}} = h_c A_{\text{ext}} (T_h - T_{\infty,c})
    é o fluxo para o fluido externo e
    q'_{\text{in}} = \dfrac{T_h - T_{\infty,i}}{R'_{\text{in}}}
    é o fluxo em direção ao fluido interno, com R'_{\text{in}} sendo a resistência térmica por unidade de comprimento do caminho interno (série).

Passo 3

Apresentar as fórmulas das resistências e áreas que vamos usar (aqui explico cada termo).
  • Área de superfície externa por unidade de comprimento (circunferência do cilindro, L=1\\ \mathrm{m}):
    A_{\text{ext}} = 2\pi r_{o}.
    Explicação: a área lateral de um cilindro de comprimento L é 2\pi r L; como trabalhamos por metro de comprimento, L=1.
  • Resistência de condução radial através de uma parede cilíndrica (por unidade de comprimento):
    R'_{\text{cond}}=\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right).
    Explicação: para condução radial em um cilindro, a área que varia com o raio leva a essa forma logarítmica; o factor 1/(2\pi k) surge do arranjo geométrico por unidade de comprimento.
  • Resistência de convecção interna (por unidade de comprimento):
    R'_{\text{conv,i}}=\dfrac{1}{h_{i}A_{\text{int}}} \qquad\text{com}\qquad A_{\text{int}}=2\pi r_{i}.
    Explicação: resistência convectiva é 1/(hA).
  • A resistência total do caminho interno (série) é:
    R'_{\text{in}} = R'_{\text{cont}} + R'_{\text{cond}} + R'_{\text{conv,i}}.

Passo 4

Calcular numericamente as áreas e as resistências passo a passo (vou explicar cada conta).
  • Área externa por comprimento:
    A_{\text{ext}} = 2\pi r_{o}=2\pi(0,075)=0,4712389\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{m}.
  • Área interna por comprimento:
    A_{\text{int}} = 2\pi r_{i}=2\pi(0,025)=0,1570796\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{m}.
  • Resistência de condução radial:
    R'_{\text{cond}}=\dfrac{1}{2\pi(10)}\ln\!\left(\dfrac{0,075}{0,025}\right) =\dfrac{1}{20\pi}\ln(3).
    Avaliando numericamente:
    \ln(3)\approx 1,0986123\quad\Rightarrow\quad R'_{\text{cond}}\approx \dfrac{1,0986123}{62,8318531}\approx 0,01749\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência de convecção interna:
    R'_{\text{conv,i}}=\dfrac{1}{h_{i}A_{\text{int}}}=\dfrac{1}{30\cdot 0,1570796} \approx \dfrac{1}{4,712388}\approx 0,21221\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Somando as resistências em série (incluindo R'_{\text{cont}}=0,01):
    R'_{\text{in}}=0,01 + 0,01749 + 0,21221 \approx 0,23970\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Constante de convecção externa multiplicada pela área:
    h_{c}A_{\text{ext}} = 100\cdot 0,4712389 \approx 47,12389\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
    Observação: h_c A_{\text{ext}} é a condutância do caminho externo (o inverso de uma resistência associada à convecção externa).

Passo 5

Montar a equação do balanço com os valores numéricos e rearranjar para encontrar T_h.
  • Escrevendo q'_{\text{in}} e q'_{\text{out}} com os números: q'_{\text{in}}=\dfrac{T_h - T_{\infty,i}}{R'_{\text{in}}}=\dfrac{T_h - 2}{0,23970}
q'_{\text{out}}=h_{c}A_{\text{ext}}(T_h - T_{\infty,c})=47,12389\,(T_h - (-10))=47,12389\,(T_h+10).
  • Balanço (toda potência gerada é dissipada pelas duas vias): 3000 = \dfrac{T_h - 2}{0,23970} + 47,12389\,(T_h+10).

Passo 6

Resolver a equação para T_h — faço as manipulações algébricas passo a passo.
  • Primeiro escrevo os termos lineares:
    \dfrac{T_h - 2}{0,23970} = \left(\dfrac{1}{0,23970}\right)T_h - \left(\dfrac{2}{0,23970}\right).
    Avaliando:
    \dfrac{1}{0,23970}\approx 4,17268,\qquad \dfrac{2}{0,23970}\approx 8,34536.
    Então
    \dfrac{T_h - 2}{0,23970}\approx 4,17268\,T_h - 8,34536.
  • O termo externo é:
    47,12389\,(T_h+10)=47,12389\,T_h + 471,2389.
  • Somando os dois termos e igualando a 3000:
    3000 \approx (4,17268+47,12389)\,T_h + (-8,34536+471,2389).
    Calculando os coeficientes:
    4,17268+47,12389 \approx 51,29657,
-8,34536+471,2389 \approx 462,89354.
Assim:
3000 \approx 51,29657\,T_h + 462,89354.
  • Isolando T_h: T_h \approx \dfrac{3000 - 462,89354}{51,29657} \approx \dfrac{2537,10646}{51,29657}\approx 49,5\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação:
  • A temperatura obtida T_h\approx 49,5^\circ\mathrm{C} faz sentido fisicamente: é bem acima de ambos os fluidos (interno 2^\circC e externo -10^\circC), de modo que o aquecedor perde calor para os dois lados. Como o lado externo tem convecção bem mais forte ( h_c grande) e temperatura externa bem baixa, grande parte da potência é perdida para fora; a resistência interna (principalmente a convecção interna) reduz a parte que vai para o fluido interno.
  • Se quiser, pode checar distribuindo q' entre as duas vias usando T_h calculado: isso confirma consistência (mas a conta principal já foi feita).
Força aí — você conseguiu montar o modelo de resistências térmicas e resolver a equação linear; esse é o procedimento que cai muito na prova!

Resposta

T_h \approx 49,5^\circ\mathrm{C}

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