Um aquecedor elétrico fino é colocado sobre a superfície externa de um longo tubo cilíndrico que transporta fluido frio a
com coefiente de transferência de conveção interno
de
. Os raios interno e externo do tubo são 25 mm e 75 mm , respectivamente, que tem condutividade térmica de
. A resistência entre o aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de comprimento do tubo) é de
. A superfície externa do aquecedor está exposta a um fluido a
com coeficiente de transferência de calor por conveção
. Assumindo que a potência do aquecedor é de 3000
, calcule sua temperatura de operação. (4,0 pontos)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados fornecidos:
- Temperatura do fluido interno:
. - Coeficiente de convecção interna:
. - Raio interno do tubo:
. - Raio externo do tubo:
. - Condutividade térmica do tubo:
. - Resistência térmica de contato entre aquecedor e superfície externa (por unidade de comprimento):
. - Temperatura do fluido externo:
. - Coeficiente de convecção externo (sobre o aquecedor):
. - Potência do aquecedor por comprimento:
.
- Temperatura do fluido interno:
-
O que se pede:
- Calcular a temperatura de operação do aquecedor (temperatura da superfície do aquecedor que está exposta ao fluido externo), chamarei essa temperatura de
.
- Calcular a temperatura de operação do aquecedor (temperatura da superfície do aquecedor que está exposta ao fluido externo), chamarei essa temperatura de
Passo 2
Entender o caminho do calor e montar o balanço térmico.
-
O aquecedor está sobre a superfície externa do tubo. A potência
fornecida pelo aquecedor (por metro de comprimento) é dissipada por duas vias simultâneas: - Direto para o fluido externo por convecção entre a superfície do aquecedor (temperatura
) e . Essa via tem resistência associada inversa à área externa e ao . - Para o interior do tubo: o calor passa do aquecedor através da resistência de contato
, depois por condução através da parede cilíndrica do tubo, e finalmente é removido pelo fluido interno por convecção com coeficiente . Essas resistências aparecem em série, formando uma resistência total do caminho interno.
- Direto para o fluido externo por convecção entre a superfície do aquecedor (temperatura
-
Equação de balanço (estado estacionário, toda potência dissipada):ondeé o fluxo para o fluido externo eé o fluxo em direção ao fluido interno, com
sendo a resistência térmica por unidade de comprimento do caminho interno (série).
Passo 3
Apresentar as fórmulas das resistências e áreas que vamos usar (aqui explico cada termo).
-
Área de superfície externa por unidade de comprimento (circunferência do cilindro,
): Explicação: a área lateral de um cilindro de comprimentoé ; como trabalhamos por metro de comprimento, . -
Resistência de condução radial através de uma parede cilíndrica (por unidade de comprimento):Explicação: para condução radial em um cilindro, a área que varia com o raio leva a essa forma logarítmica; o factor
surge do arranjo geométrico por unidade de comprimento. -
Resistência de convecção interna (por unidade de comprimento):Explicação: resistência convectiva é
. -
A resistência total do caminho interno (série) é:
Passo 4
Calcular numericamente as áreas e as resistências passo a passo (vou explicar cada conta).
-
Área externa por comprimento:
-
Área interna por comprimento:
-
Resistência de condução radial:Avaliando numericamente:
-
Resistência de convecção interna:
-
Somando as resistências em série (incluindo
): -
Constante de convecção externa multiplicada pela área:Observação:
é a condutância do caminho externo (o inverso de uma resistência associada à convecção externa).
Passo 5
Montar a equação do balanço com os valores numéricos e rearranjar para encontrar
.
- Escrevendo
e com os números:
- Balanço (toda potência gerada é dissipada pelas duas vias):
Passo 6
Resolver a equação para
— faço as manipulações algébricas passo a passo.
-
Primeiro escrevo os termos lineares:Avaliando:Então
-
O termo externo é:
-
Somando os dois termos e igualando a
: Calculando os coeficientes:
Assim:
- Isolando
:
Passo 7
Interpretação rápida e verificação:
- A temperatura obtida
faz sentido fisicamente: é bem acima de ambos os fluidos (interno C e externo C), de modo que o aquecedor perde calor para os dois lados. Como o lado externo tem convecção bem mais forte ( grande) e temperatura externa bem baixa, grande parte da potência é perdida para fora; a resistência interna (principalmente a convecção interna) reduz a parte que vai para o fluido interno. - Se quiser, pode checar distribuindo
entre as duas vias usando calculado: isso confirma consistência (mas a conta principal já foi feita).
Força aí — você conseguiu montar o modelo de resistências térmicas e resolver a equação linear; esse é o procedimento que cai muito na prova!