1- Considere um sistema constituído por um mol de um fluido simples, definido pela equação fundamental
em que
e
são a energia interna e o volume por mol, respectivamente,
é uma constante e
é a constante universal dos gases.
Esse sistema percorre uma trajetória quase-estática, que pode ser representada num diagrama
. A partir do ponto
, com volume
é pressão
, o sistema é comprimido a volume contante, até o ponto
, com
e
. Em seguida, o sistema se expande adiabaticamente, até o ponto
, atingindo a mesma pressão do ponto inicial (
).
(a) Esboce uma trajetória desse sistema no plano
. Mostre que o trecho adiabático é dado por uma expressão da forma
Qual o valor das contantes
e
? Qual o volume
no ponto
?
(b) Preencha a tabela abaixo, com o trabalho realizado,
, o calor absorvido pelo sistema,
, a variação da energia interna,
, e a variação da entropia,
, nos dois trechos dessa trajetória.
-128 J
128 J
128 j
128 J
(a) Esboce uma trajetória desse sistema no plano
(b) Preencha a tabela abaixo, com o trabalho realizado,
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-128 J |
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128 J |
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128 j | 128 J |
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Passo 1
O enunciado dá um sistema com um mol de um fluido simples cuja entropia por mol é
onde
é a energia interna por mol,
é o volume por mol,
é constante e
. A trajetória no diagrama
é descrita assim:
- Ponto
: e . - Processo
: compressão a volume constante até com e . - Processo
: expansão adiabática reversível até , onde . Deve-se mostrar que o trecho adiabático satisfaz , e encontrar e e o volume .
Em (b) pede-se preencher para cada trechoe : o trabalho , o calor , a variação de energia interna e a variação de entropia .
Passo 2
Obter as equações termodinâmicas (aula rápida de fundamento):
A identidade térmica para variables molares é
A identidade térmica para variables molares é
Isto significa que
Vamos calcular as derivadas a partir de
:
Portanto
e
Comentário didático: essas duas relações mostram que o fluido obedece à equação de estado dos gases ideais
e que a energia interna molar é a usual para um gás com
, pois
com
.
Passo 3
Determinar
e a forma adiabática
const:
Para um gás ideal com dado, tem-se
. Logo
Para um gás ideal com
Substituindo
:
Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a relação politrópica
Para achar
use um ponto conhecido do trecho adiabático; aqui o trecho adiabático inicia em
, então
Como
,
Agora o volume em
é obtido impondo
. Assim
Substituindo
e
:
Observação numérica conveniente:
, então
Passo 4
Energia interna e calor no trecho
(compressão isocórica) — passo a passo didático:
- Trabalho em processo isocórico: o trabalho de expansão
é zero quando é constante. Portanto
- Variação da energia interna: como
com , tem-se
Mas
, e
, então
Substituindo:
Com os valores
,
e
:
- Calor trocado: pela primeira lei
. Assim, como ,
- Variação da entropia: para um processo reversível (nesse caso o enunciado fala em trajetória quase-estática, e o aquecimento isocórico é presumivelmente reversível para calcular entropia), a variação de entropia é
Usando
(porque
constante),
Com
e
:
Passo 5
Grandezas no trecho
(adiabático reversível) — passo a passo:
- Para um processo adiabático reversível temos
(definição de adiabático reversível / isentrópico). Portanto
- Calor trocado:
por definição de adiabático. - Trabalho e variação de energia interna: use a primeira lei
; com segue . Podemos calcular explicitamente integrando
com
. A integral dá (aviso: desenvolvendo a integral e lembrando
)
Uma forma útil e rápida (muito usada em provas) é escrever o resultado em termos de
:
Agora calcular numericamente: primeiro
e
. Com
tem-se
. Portanto
Interpretação:
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o sistema realiza trabalho).
Logo
Logo
Confirme a consistência com
:
, batendo com o cálculo acima.
Passo 6
Resumo físico e checagem rápida:
- No trecho
(isochoric) o sistema recebeu calor e aumentou sua energia interna; não houve trabalho. A entropia aumentou. - No trecho
(adiabático reversível) não houve troca de calor, o sistema realizou trabalho e sua energia interna diminuiu; a entropia manteve-se constante.
As parcelas numéricas já foram obtidas e estão consistentes entre si pela primeira lei.
Resposta
A→B:
A→B:
A→B:
A→B:
A→B:
A→B:
A→B:
B→C:
B→C:
B→C:
B→C:
B→C:
B→C:
B→C: