#5) Para uma argila normalmente adensada, um ensaio de cisalhamento direto lento revelou um ângulo de atrito efetivo de 25^{\circ}. Em um ensaio de compressão triaxial consolidado drenado realizado com a mesma argila, a ruptura ocorreu para uma tensão desviadora de 180 kPa . Qual era a tensão de confinamento deste ensaio? E em que plano o corpo de prova rompeu?

Passo 1

Dados que o enunciado fornece e o que ele pede:
  • Ângulo de atrito efetivo: \varphi' = 25^\circ.
  • Ensaio triaxial consolidado drenado; ruptura ocorreu para tensão desviadora (deviator) q = 180\\ \mathrm{kPa}.
  • Perguntas: (1) Qual era a tensão de confinamento deste ensaio? (ou seja, \sigma_3' em kPa). (2) Em que plano o corpo de prova rompeu? (ângulo do plano de ruptura em relação à direção da maior tensão principal, ou seja, em relação ao eixo axial do ensaio).

Passo 2

Entendendo o que é a “tensão desviadora” no contexto do ensaio triaxial:
  • Num ensaio triaxial axissimétrico temos duas tensões principais: a maior \sigma_1' (axial) e a menor \sigma_3' (confinamento radial).
  • A tensão desviadora (deviator) é definida por
q = \sigma_1' - \sigma_3'.
Aqui q já foi dado como \,180\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Relembrando a lei de resistência de Mohr–Coulomb (modo efetivo) e a hipótese necessária:
  • A forma geral é \tau = c' + \sigma_n' \tan\varphi', onde \tau é a resistência ao cisalhamento, c' é a coesão efetiva, \sigma_n' é a tensão normal na superfície de ruptura e \varphi' é o ângulo de atrito efetivo.
  • Para uma argila normalmente adensada, o exercício pressupõe (e é comum assumir) que a resistência efetiva atua principalmente por atrito e que o intercepto de coesão efetiva c' pode ser considerado nulo para este cálculo. Portanto vou assumir
c' = 0.
Se alguém pedisse rigor experimental, deveríamos ter c' medido, mas aqui adotamos c'=0 conforme a situação típica indicada.

Passo 4

Usando a representação de Mohr para as tensões principais e a condição de tangência ao envelope de Mohr–Coulomb (com c'=0):
  • No plano de Mohr, o círculo tem centro C = \dfrac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2} e raio R = \dfrac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2} = \dfrac{q}{2}.
  • A condição de tangência entre o círculo e a linha \tau = \sigma \tan\varphi' (envelope) leva à relação clássica (obtida por condição geométrica) para c'=0:
\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\varphi'.
  • Simplificando essa expressão obtemos
\sigma_1' - \sigma_3' = (\sigma_1' + \sigma_3')\,\sin\varphi'.

Passo 5

Transformar a relação anterior em uma equação em \sigma_3' usando q = \sigma_1' - \sigma_3':
  • Escrevendo \sigma_1' = \sigma_3' + q e substituindo,
q = (2\sigma_3' + q)\,\sin\varphi'.
  • Isolando \sigma_3':
q (1 - \sin\varphi') = 2\sigma_3'\sin\varphi'
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\sigma_3' = \frac{q\,(1 - \sin\varphi')}{2\sin\varphi'}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular \sigma_3' passo a passo:
  • Primeiro calcule \sin\varphi' para \varphi' = 25^\circ:
\sin 25^\circ \approx 0,4226.
  • Então 1 - \sin\varphi' \approx 1 - 0,4226 = 0,5774.
  • O numerador fica q(1-\sin\varphi') = 180\cdot 0,5774 \approx 103,93.
  • O denominador é 2\sin\varphi' = 2\cdot 0,4226 = 0,8452.
  • Dividindo,
\sigma_3' \approx \frac{103,93}{0,8452} \approx 122,9\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando de forma prática para prova: \sigma_3' \approx 123\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Determinar o plano de ruptura (orientação do plano em que ocorre a ruptura):
  • Pela geometria de Mohr, o ângulo entre a direção da maior tensão principal ( \sigma_1', no ensaio triaxial é o eixo axial) e o plano de ruptura \theta (medido no material) é dado por
\theta = 45^\circ + \frac{\varphi'}{2}.
  • Substituindo \varphi' = 25^\circ:
\theta = 45^\circ + \frac{25^\circ}{2} = 45^\circ + 12,5^\circ = 57,5^\circ.
  • Interpretação física: a superfície de ruptura forma um ângulo de 57,5^\circ com a direção da maior tensão principal (ou seja, com o eixo axial do corpo de prova). Alternativamente, em relação à horizontal (se \sigma_1' for vertical), o plano faz 90^\circ - 57,5^\circ = 32,5^\circ com a horizontal.

Resposta

\sigma_3' \approx 123\\ \mathrm{kPa}
Plano de ruptura: 57{,}5^\circ em relação à direção da maior tensão principal (eixo axial).

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